Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 3 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 8 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.

}{Die \stichwort {Äquivalenzklasse} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$.

}{Eine \stichwort {beschränkte} {} Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.

}{Das \stichwort {geometrische Mittel} {} von zwei positiven reellen Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}

}{Der \stichwort {Kosinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.

}{Das \stichwort {Wahrscheinlichkeitsmaß} {} auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,f)}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {} heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind. \aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v) }
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{u,v \in K^n}{.} } {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v) }
{ = }{ s \varphi(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle \mathkor {} {s \in K} {und} {v \in K^n} {.} } }{Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[x] }
{ =} { { \left\{ y \in M \mid y \sim x \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Folge $x_n$ heißt beschränkt, wenn es ein Element
\mathl{B \in K}{} mit
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq B \text { für alle } n \in \N} { }
gibt. }{Die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ a \cdot b}} { }
heißt das geometrische Mittel von \mathkor {} {a} {und} {b} {.} }{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\cos \alpha}{} die erste Koordinate des \definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{} $P(\alpha)$. }{Die Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} { \mathfrak {P} \, (M ) } {\R_{\geq 0} } {E} { \mu_f(E) = \sum_{x \in E} f(x) } {,} heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Q$.}{Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\R$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Das Äquivalenzklassenmodell von $\Q$ ist mit der Addition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (a, b) ] + [ (c, d) ] }
{ \defeq} {[ (ad+bc, bd) ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)] }
{ \defeq} {[(ac, bd)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dem Nullelement
\mathl{[(0,1)]}{,} dem Einselement
\mathl{[(1,1)]}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] }
{ \geq} {[(c,d)] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} falls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ad }
{ \geq} { bc }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} definierten Ordnung ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}{Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\R$ konvergiert.}{Seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei \maabb {f} {[a,b]} { \R } {} eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen \mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.} Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+3y }
{ =} {-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.

}
{

Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix}}{} ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix}}{.} Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}

}
{

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & + y & +5 z & +2 w & = & 0 \\ 3 x & -2 y & +7 z & \, \, \, \, - w & = & 0 \\ 2 x & \, \, \, \, - y & -4 z & +3 w & = & 0 \, \end{matrix}} { }
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable $y$. Das resultierende System ist \zusatzklammer {$II' = II +2I,\, III'= III+I$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & + y & +5 z & +2 w & = & 0 \\ 7 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & +17 z & +3 w & = & 0 \\ 4 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +5 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
Wir eliminieren nun aus $II'$ mittels $III'$ die Variable $z$, das ergibt \zusatzklammer {$II' -17 III'$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & + y & +5 z & +2 w & = & 0 \\ 4 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +5 w & = & 0 \\ -61 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & -82 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei $x \neq 0$ die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei $x=82$. Dann ist $w= -61$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { -4x-5w }
{ =} { - 4 \cdot 82 - 5 (-61) }
{ =} { - 328+305 }
{ =} { -23 }
} {}{}{.} Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ =} { -2x-5z-2w }
{ =} { -2(82) -5 (-23) -2 (-61) }
{ =} { -164 +115 + 122 }
{ =} { 73 }
} {}{}{.} Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
\mathdisp {{ \left\{ s \begin{pmatrix} 82 \\73\\ -23\\-61 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }} { . }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Relation}{}{} auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c} { , }
festgelegt ist, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{

\aufzaehlungdrei{Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b }
{ = }{b+a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{(a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die Relation ist also reflexiv. }{Die Symmetrie folgt daraus, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d }
{ = }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c+b }
{ = }{d+a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt. }{Zum Nachweis der Transitivität sei \mathkor {} {(a,b) \sim (c,d)} {und} {(c,d) \sim (e,f)} {,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d }
{ = }{b+c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c +f }
{ = }{ d+e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+f+c }
{ =} {a+d+e }
{ =} {b+e+c }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund der Abziehregel ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+f }
{ =} {b+e }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b) }
{ \sim }{(e,f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\Z/(5)$.

}
{

%Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $3$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ $4$ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $3$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $4$ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 0 }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 0 }

\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }

\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }

\renewcommand{\azweixvier}{ 3 }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ 4 }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }

\renewcommand{\adreixzwei}{ 2 }

\renewcommand{\adreixdrei}{ 4 }

\renewcommand{\adreixvier}{ 1 }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ 3 }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ 0 }

\renewcommand{\avierxzwei}{ 3 }

\renewcommand{\avierxdrei}{ 1 }

\renewcommand{\avierxvier}{ 4 }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ 2 }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ 1 }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

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\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitfuenfxfuenf

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mathl{g \in G}{} und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} $\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.

}
{

Sei
\mathl{g \in G}{} fixiert. Dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi_g} { \Z} {G} {n} {g^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen
\mathl{\varphi_g(1)=g^{1}=g}{} erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus
\mathl{\varphi:\Z \rightarrow G}{} durch $\varphi(1)$ eindeutig festgelegt, da
\mathl{\varphi(n)=(\varphi(1))^{n}}{} für $n$ positiv und
\mathl{\varphi(n)=((\varphi(1))^{-1})^{-n}}{} für $n$ negativ gelten muss.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.

}
{

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q }
{ =} { { \frac{ a }{ b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q^k }
{ =} { { \left( { \frac{ a }{ b } } \right) }^k }
{ =} { { \frac{ a^k }{ b^k } } }
{ =} {n }
{ } { }
} {}{}{} besitzt. Wir multiplizieren mit $b^k$ und erhalten in $\N$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^k }
{ =} { b^k \cdot n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen Satz 20.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt diese Zahl, nennen wir sie $z$, eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der $p$-\definitionsverweis {Exponent}{}{} davon zu jeder Primzahl $p$ eindeutig bestimmt. Sei $p$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der $p$-Exponent von $n$ kein Vielfaches von $k$ ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der $p$-Exponent von $z$ kein Vielfaches von $k$, von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 9 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 9 }{ 4 } } \, } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 20 }{ 9 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 81+80 }{ 72 } } }
{ =} { { \frac{ 161 }{ 72 } } }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_3 }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 161 }{ 72 } } \, } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 360 }{ 161 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 25921 + 25920 }{ 23184 } } }
{ =} { { \frac{ 51841 }{ 23184 } } }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.

}
{

Sei
\mathl{B>0}{} eine Schranke für
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} und sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Nullfolge ist, gibt es zu
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ B } }}{} ein $n_0$ derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n } }
{ \leq }{ { \frac{ \epsilon }{ B } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Für diese Indizes ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n y_n } }
{ \leq} { \betrag { x_n } \cdot \betrag { y_n } }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ B } } \cdot B }
{ =} { \epsilon }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\Q$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}

}
{

Die konstante Folge
\mathl{x_n=1}{} ist eine konvergente Folge. Die Folge
\mathl{y_n=n}{} gehört zum rationalen Folgenring $\Q^\N$, es ist
\mathl{x_ny_n=y_n}{} und dies ist nicht konvergent. Es liegt also kein Ideal vor.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {2,07 \overline{203}} { }
gegeben ist.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{2{,}07 \overline{203} }
{ =} { 2{,}07 + 0{,}00 \overline{203} }
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 0{,} \overline{203} }
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 203 \cdot 0{,} \overline{001} }
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 203 \cdot { \frac{ 1 }{ 999 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 203 }{ 99900 } } }
{ =} { { \frac{ 206793+203 }{ 99900 } } }
{ =} { { \frac{ 206996 }{ 99900 } } }
{ =} { { \frac{ 51749 }{ 24975 } } }
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

}
{

Bei konstantem Umfang $d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bestimmt, die andere Seitenlänge ist
\mathl{{ \frac{ d }{ 2 } } -s}{} und der Flächeninhalt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \left( { \frac{ d }{ 2 } } -s \right) } }
{ =} {s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich
\mathl{{ \frac{ d }{ 4 } }}{} und der Flächeninhalt gleich
\mathl{{ \frac{ d^2 }{ 16 } }}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2 }
{ \leq} { { \frac{ d^2 }{ 16 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu zeigen. Dies ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ d^2 }{ 16 } } - s { \frac{ d }{ 2 } } + s^2 }
{ =} { { \left( s - { \frac{ d }{ 4 } } \right) }^2 }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.

}
{

Wir machen den Ansatz
\mathl{x=y+c}{.} Einsetzen ergibt
\mathdisp {(y+c)^5 +10 (y+c)^4 +y+c -5 =0} { , }
wobei der Koeffizient zu $y^4$ gleich $0$ werden soll. Dieser Koeffizient ist
\mathl{5c +10}{,} also muss man
\mathdisp {c = - 2} { }
wählen. Damit wird das Polynom zu
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\, }
{ =} { (y+c)^5 +10 (y+c)^4 +y+c-5 }
{ =} {(y -2)^5 +10 (y-2)^4 +y-2-5 }
{ =} { y^5 -5 \cdot 2 y^4 +10 (-2)^2 y^3 +10 (-2)^3 y^2 +5 (-2)^4 y -2^5 }
{ \, \, \,} {+ 10(y^4+4(-2)y^3 + 6(-2)^2y^2+4(-2)^3y +16) +y -7 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { y^5 + 40 y^3 -80 y^2 + 80 y -32 -80 y^3 + 240 y^2 -320y +160 +y -7 }
{ =} { y^5 -40y^3 +160 y^2 -239 y +121 }
{ } {}
{ } {}
} {}{} und die äquivalente Gleichung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 -40y^3 +160 y^2 -239 y +121 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Man finde ein Polynom
\mathl{f \in \R[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(3) }
{ = }{9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Das Polynom $X^2$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a) }
{ >} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ >} {g(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c }
{ \defeq} { f(a) -g(a) }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da \mathkor {} {f} {und} {g} {} stetig sind, gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ \defeq} { { \frac{ c }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} positive Zahlen \mathkor {} {\delta_1} {bzw.} {\delta_2} {} derart, dass aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_1}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(x)-f(a) } \leq \epsilon}{} und aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_2}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { g(x)-g(a) } \leq \epsilon}{} folgt. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta }
{ \defeq} { {\min { \left( \delta_1, \delta_2 , \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt somit für jedes
\mathl{x \in [a- \delta, a+ \delta]}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \geq} { f(a) - \epsilon }
{ >} { g(a) + \epsilon }
{ \geq} { g(x) }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \leq} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3 }
{ \leq} {5^2 }
{ =} {25 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,9)^3 }
{ =} { 24,389 }
{ <} {25 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^3 }
{ =} {27 }
{ >} {25 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,9 }
{ <} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } }
{ <} {3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$. \aufzaehlungfuenf{Skizziere \mathkor {} {P} {und} {K} {.} }{Erstelle eine Gleichung für $K$. }{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$. }{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft. }

}
{

\aufzaehlungfuenf{ $\,$ }{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (y-1)^2+x^2 = 1 \right\} } }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +1+x^2 = 1 \right\} } }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +x^2 = 0 \right\} } }
{ } { }
} {} {}{.} }{Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^2$ durch $y$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { y^2-2y+y }
{ =} { y^2-y }
{ =} { y(y-1) }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist \mathkor {} {y=0} {oder} {y=1} {.} Dies führt zu den drei Schnittpunkten
\mathl{(0,0),(1,1),(-1,1)}{.} }{Die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2-2y }
{ =} { -x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (y-1)^2 }
{ =} { 1-x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 1 \pm \sqrt{1-x^2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion \maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R } {x} { 1 - \sqrt{1-x^2} } {.} }{Wir behaupten, dass die Parabel auf
\mathl{[-1,1]}{} oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ \geq} {1 - \sqrt{1-x^2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1-x^2} }
{ \geq} { 1-x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^2 }
{ \geq} { { \left( 1-x^2 \right) }^2 }
{ =} { 1 +x^4-2x^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4 -x^2 }
{ \leq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 -1 }
{ \leq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was wegen
\mathl{x \in [-1,1]}{} erfüllt ist. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{

Skat wird mit $32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen \zusatzklammer {die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet} {} {.} Der \anfuehrung{Skat}{} besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle. \aufzaehlungdrei{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist? }

}
{

\aufzaehlungdrei{Es gibt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 32 } { 2} }
{ =} { { \frac{ 32 \cdot 31 }{ 2 } } }
{ =} { 16 \cdot 31 }
{ =} { 496 }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten. Für einen reinen Königsskat gibt es
\mathl{\binom { 4 } { 2}=6}{} Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind, ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 6 }{ 496 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 248 } } }
{ =} { 0,012096774... }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gibt nur die beiden Möglichkeiten zwei Könige oder zwei Damen. Diese Ereignisse sind disjunkt, somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot { \frac{ 3 }{ 248 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 124 } } }
{ =} {0,024193548... }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für ein Paar der Form ein König und eine Dame gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 \cdot 4 }
{ =} { 16 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar im Skat beträgt somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 16 }{ 496 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 31 } } }
{ =} {0,032258065 ... }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen \zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.} Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ \geq} {50 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 100 } }$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ \geq} { 50 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es für $y$ die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {5,6,7,8,9,10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $2$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6+5+4+3+2+1 }
{ =} { 21 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest $50$ ist, den Wert
\mathl{{ \frac{ 21 }{ 100 } }}{.}

}