Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 4 2 1 3 5 3 3 2 3 3 4 1 4 3 8 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Abbildung , wobei einen Körper bezeichnet.
  2. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  3. Eine beschränkte Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Das geometrische Mittel von zwei positiven reellen Zahlen und .
  5. Der Kosinus zu einem Winkel .
  6. Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    1. für alle .
    2. für alle und .
  2. Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
  3. Die Folge heißt beschränkt, wenn es ein Element mit

    gibt.

  4. Die reelle Zahl

    heißt das geometrische Mittel von und .

  5. Zu einem Winkel versteht man unter die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes .
  6. Die Abbildung

    heißt Wahrscheinlichkeitsmaß.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für .
  2. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
  3. Der Zwischenwertsatz.


Lösung

  1. Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition

    der Multiplikation

    dem Nullelement , dem Einselement und der durch

    falls

    definierten Ordnung ein

    angeordneter Körper.
  2. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in konvergiert.
  3. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Lösung

Es ist ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist . Somit ist

eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt

()

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei . Dann ist . Damit ist

Schließlich ist

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Relation auf , die durch

fesgelegt ist, eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

  1. Wegen ist , die Relation ist also reflexiv.
  2. Die Symmetrie folgt daraus, dass aus sofort folgt.
  3. Zum Nachweis der Transitivität sei und , also und . Dann ist

    Aufgrund der Abziehregel ist dann

    und dies bedeutet .


Aufgabe (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring .


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Lösung

Sei fixiert. Dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus durch eindeutig festgelegt, da für positiv und für negativ gelten muss.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.


Lösung

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl

die Eigenschaft

besitzt. Wir multiplizieren mit und erhalten in die Gleichung

Wegen Satz 20.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) besitzt diese Zahl, nennen wir sie , eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der -Exponent davon zu jeder Primzahl eindeutig bestimmt. Sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der -Exponent von kein Vielfaches von ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der -Exponent von kein Vielfaches von , von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Lösung

Sei eine Schranke für und sei vorgegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein derart, dass für die Abschätzung gilt. Für diese Indizes ist dann auch


Aufgabe (2 Punkte)

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein Ideal?


Lösung

Die konstante Folge ist eine konvergente Folge. Die Folge gehört zum rationalen Folgenring , es ist und dies ist nicht konvergent. Es liegt also kein Ideal vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.


Lösung

Bei konstantem Umfang ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge bestimmt, die andere Seitenlänge ist und der Flächeninhalt ist

Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich und der Flächeninhalt gleich . Es ist also

zu zeigen. Dies ist wegen

erfüllt.


Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Lösung

Wir machen den Ansatz . Einsetzen ergibt

wobei der Koeffizient zu gleich werden soll. Dieser Koeffizient ist , also muss man
wählen. Damit wird das Polynom zu

und die äquivalente Gleichung ist


Aufgabe (1 Punkt)

Man finde ein Polynom mit , , und .


Lösung

Das Polynom erfüllt offenbar diese Eigenschaften.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Lösung

Sei

Da und stetig sind, gibt es zu

positive Zahlen bzw. derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit

gilt somit für jedes die Abschätzung


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Es ist

genau dann, wenn

ist. Es ist

und

also ist


Aufgabe (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen

    und

    Wir ersetzen in der zweiten Gleichung durch und erhalten die Bedingung

    Also ist oder . Dies führt zu den drei Schnittpunkten .

  3. Die Kreisgleichung

    ist äquivalent zu

    bzw. zu

    Somit ist

    Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

  4. Wir behaupten, dass die Parabel auf oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also

    zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

    Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

    Dies ist äquivalent zu

    bzw. zu

    was wegen erfüllt ist.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Skat wird mit Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen (die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet). Der „Skat“ besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.

  1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?


Lösung

  1. Es gibt insgesamt

    Möglichkeiten. Für einen reinen Königsskat gibt es Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind, ist also

  2. Es gibt nur die beiden Möglichkeiten zwei Könige oder zwei Damen. Diese Ereignisse sind disjunkt, somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
  3. Für ein Paar der Form ein König und eine Dame gibt es

    Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar im Skat beträgt somit


Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

ist.


Lösung

Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass

ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für bei gegebenem gibt. Bei

gibt es für die Möglichkeiten

also insgesamt Möglichkeiten. Bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeiten für , bei

gibt es Möglichkeit für . Insgesamt gibt es also

Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest ist, den Wert .