Lösung
- Die
Abbildung
heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
-
für alle .
-
für alle
und .
- Die Äquivalenzklasse zu ist die Menge
-
- Die Folge heißt beschränkt, wenn es ein Element mit
-
gibt.
- Die reelle Zahl
-
heißt das geometrische Mittel von
und .
- Zu einem Winkel versteht man unter die erste Koordinate des
trigonometrischen Punktes
.
- Die Abbildung
-
heißt
Wahrscheinlichkeitsmaß.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für .
- Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in .
- Der Zwischenwertsatz.
Lösung
- Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
-
der Multiplikation
-
dem Nullelement , dem Einselement und der durch
-
falls
-
definierten Ordnung ein
angeordneter Körper.
- Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in konvergiert.
- Es seien reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen
und .
Dann gibt es ein mit .
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
-
im gegebene Gerade.
Lösung
Es ist ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist . Somit ist
-
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
Bestimme den
Kern
der
linearen Abbildung
-
Lösung
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
-
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist
(,
)
-
Wir eliminieren nun aus
mittels
die Variable
, das ergibt
()
-
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
.
Dann ist
.
Damit ist
-
Schließlich ist
-
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
-
Zeige, dass die
Relation
auf , die durch
-
festgelegt ist, eine
Äquivalenzrelation
ist.
Lösung
- Wegen
ist
,
die Relation ist also reflexiv.
- Die Symmetrie folgt daraus, dass aus
sofort
folgt.
- Zum Nachweis der Transitivität sei
und ,
also
und
.
Dann ist
-
Aufgrund
der Abziehregel
ist dann
-
und dies bedeutet
.
Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring .
Lösung
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Lösung
Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
Lösung
Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
-
die Eigenschaft
-
besitzt. Wir multiplizieren mit und erhalten in die Gleichung
-
Wegen
Satz 21.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
besitzt diese Zahl, nennen wir sie , eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der -
Exponent
davon zu jeder Primzahl eindeutig bestimmt. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der -Exponent von kein Vielfaches von ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der -Exponent von kein Vielfaches von , von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.
Lösung
Es ist
-
-
-
Lösung
Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in konvergenten Folgen ein
Ideal?
Lösung
Bestimme die
rationale Zahl,
die im Dezimalsystem durch
-
gegeben ist.
Lösung
Es ist
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.
Lösung
Forme die Gleichung
-
in eine äquivalente Gleichung der Form
-
mit um.
Lösung
Wir machen den Ansatz . Einsetzen ergibt
-
wobei der Koeffizient zu
gleich
werden soll. Dieser Koeffizient ist
, also muss man
-
wählen. Damit wird das Polynom zu
und die äquivalente Gleichung ist
-
Lösung
Das Polynom erfüllt offenbar diese Eigenschaften.
Es sei und seien
-
stetige Funktionen mit
-
Zeige, dass es ein derart gibt, dass
-
für alle gilt.
Lösung
Sei
-
Da
und
stetig sind, gibt es zu
-
positive Zahlen
bzw.
derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit
-
gilt somit für jedes die Abschätzung
-
Berechne
-
bis auf einen Fehler von .
Lösung
Es ist
-
genau dann, wenn
-
ist. Es ist
-
und
-
also ist
-
Lösung
-
- Es ist
- Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
-
und
-
Wir ersetzen in der zweiten Gleichung durch und erhalten die Bedingung
-
Also ist
oder .
Dies führt zu den drei Schnittpunkten .
- Die Kreisgleichung
-
ist äquivalent zu
-
bzw. zu
-
Somit ist
-
Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion
-
- Wir behaupten, dass die Parabel auf oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
-
zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
-
Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu
-
Dies ist äquivalent zu
-
bzw. zu
-
was wegen erfüllt ist.
Skat wird mit Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen
(die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet).
Der „Skat“ besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist?
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist?
Lösung
- Es gibt insgesamt
-
Möglichkeiten. Für einen reinen Königsskat gibt es Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind, ist also
-
- Es gibt nur die beiden Möglichkeiten zwei Könige oder zwei Damen. Diese Ereignisse sind disjunkt, somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
-
- Für ein Paar der Form ein König und eine Dame gibt es
-
Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar im Skat beträgt somit
-
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen aus gezogen
(mit Zurücklegen).
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
-
ist.
Lösung
Jedes Paar besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit . Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
-
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für bei gegebenem gibt. Bei
-
gibt es für die Möglichkeiten
-
also insgesamt Möglichkeiten. Bei
-
gibt es Möglichkeiten für , bei
-
gibt es Möglichkeiten für , bei
-
gibt es Möglichkeiten für , bei
-
gibt es Möglichkeiten für , bei
-
gibt es Möglichkeit für . Insgesamt gibt es also
-
Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest ist, den Wert .