Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Ordne die folgenden \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} gemäß ihrer Größe.
\mathdisp {2 , \, { \left( { \frac{ 5 }{ 3 } } \right) }^2, \, 4, \, 5 - { \frac{ 11 }{ 12 } } ,\, 3 + { \frac{ 11 }{ 10 } } , \, { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 3 } } ,\, { \frac{ 21 }{ 12 } } + { \frac{ 19 }{ 9 } } ,\, { \frac{ 407 }{ 100 } } ,\, 3 , \, { \frac{ 15 }{ 4 } }} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?

}
{} {}

Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.

Zwei Strecken \mathkor {} {s} {und} {t} {} heißen \stichwort {kommensurabel} {,} wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei Strecken \mathkor {} {a} {und} {b} {} genau dann \definitionsverweis {kommensurabel}{}{} sind, wenn es eine Strecke $v$ mit der Eigenschaft gibt, dass $v$ von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $a \neq 0$ ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass $a$ zu einem weiteren Punkt
\mathl{b \neq 0}{} genau dann \definitionsverweis {kommensurabel}{}{} ist, wenn $b$ ebenfalls rational ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sternbrocot.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Im Stern-Brocot-Baum ergeben sich die gekürzten positiven Brüche, indem man zwei je in der $x$-Richtung benachbarte Brüche \anfuehrung{falsch}{} addiert, nämlich ${ \frac{ a }{ b } } \oplus { \frac{ c }{ d } } = { \frac{ a+c }{ b+d } }$ rechnet, und in die nächste Zeile dazwischen platziert. An der Links-Rechtsausrichtung kann man die Größenverhältnisse ablesen.} }

\bildlizenz { Sternbrocot.jpg } {} {WydD} {fr. Wikipedia} {CC-by-sa-3.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } \oplus { \frac{ c }{ d } } }
{ \defeq} { { \frac{ a+c }{ b+d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} setzt. Sie beschränkt sich auf positive
\mathl{a,b,c,d}{.} Überprüfe ihre Behauptungen: \aufzaehlungfuenf{Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } }
{ \leq} { { \frac{ c }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } }
{ \leq} { { \frac{ a+c }{ b+d } } }
{ \leq} { { \frac{ c }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen. }{Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert. }{Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert. }{Die Verknüpfung ist kommutativ. }{Die Verknüpfung ist nicht assoziativ. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.

}
{Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ negativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das inverse Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1} }
{ \leq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ y }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1} }
{ < }{ y^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien $x, y$ positive Elemente. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } } }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} äquivalent ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{cd }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(x+1)^2 }
{ \geq} { (x+2)^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die in Aufgabe 23.31 eingeführte Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} {K } {n} {n_K } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n! }
{ \leq} { { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \,\, { \frac{ 3 }{ x } } \,\, }{ \,\, { \frac{ -7 }{ 4 } } \,\, } } }
{ >} { -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften für die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {K} {K } {x} { \betrag { x } } {,} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} \zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.} \aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{\betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x } }
{ = }{ \betrag { x-y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy } }
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} } }
{ = }{ \betrag { x }^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{max} (x,y) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x+y + \betrag { x-y } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Ungleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x+ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt ist. Für welche $x$ gilt Gleichheit?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n^n }
{ \leq} {(n+1)^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{x \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ x }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{n \in \N_+}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+x+x^2 + \cdots + x^n }
{ \leq} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Größergleichrelation}{}{} auf den rationalen Zahlen eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { d+n } { n } }
{ \geq} { { \left( { \frac{ d }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Betrachte die in Aufgabe 23.31 konstruierte Zuordnung \maabb {} {\Z} {K } {.}

a) Zeige, dass diese Zuordnung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung \maabb {} {\Q} {K } {} fortsetzen kann, und zwar derart, dass die \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} in $\Q$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} auf $\Q$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.

}
{} {}