Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 25

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es in einem archimedisch angeordneten Körper zu jedem Element eine ganze Zahl mit gibt.


Aufgabe

Wie oft muss man eine Strecke der Länge Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?


Aufgabe

Sei ein archimedisch angeordneter Körper. Dann gibt es für jedes eine ganze Zahl und ein mit und mit


Aufgabe

Sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

eine disjunkte Überdeckung von bilden.


Aufgabe

Es sei

das Ergebnis einer Division mit Rest. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Berechne die Gaußklammer


Aufgabe

Berechne die Gaußklammer


Aufgabe *

Es sei eine rationale Zahl. Zeige, dass genau dann ganzzahlig ist, wenn

gilt.


Aufgabe *

Es seien rationale Zahlen. Zeige, dass

genau dann gilt, wenn es ein mit gibt.


Aufgabe

Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?


Rectangular hyperbola.svg

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

weder wachsend noch fallend ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Gaußklammer


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn gleichzeitig wachsend und fallend ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann wachsend ist, wenn die Funktion

fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion

fallend ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann streng wachsend, wenn streng wachsend ist.
  2. ist genau dann streng fallend, wenn streng fallend ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

deren Werte zwischen und liegen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Elemente in . Zeige, dass für das arithmetische Mittel die Beziehung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Eine kleines Sandkorn hat ein Gewicht von Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die und eine halbe Tonne wiegt?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede rationale Zahl die Abschätzungen

gelten.


Aufgabe (1 Punkt)

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?


Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien Abbildungen

gegeben, die jeweils entweder streng wachsend oder streng fallend sind. Es sei die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung genau dann streng fallend ist, wenn ungerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


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