Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 40/latex
\setcounter{section}{40}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird $69$ Jahre alt und er wird $73$ Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Familie $A$ und $B$ notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form
\mathl{(x,y) \in \N^2}{,} wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie $A$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
\mathdisp {(2500,2800) ,\, (3500,3200) ,\, (3300,2900), \, (2800,2800) ,\, (2400,4200) ,\, (4000,2700)} { . }
Familie $B$ notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
\mathdisp {(3300,3600) ,\, (3900,3800) ,\, (4300,4300), \, (4000,3800) ,\, (3900,4100) ,\, (4000,3700)} { . }
\aufzaehlungvier{Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten.
}{Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum.
}{Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit
\zusatzklammer {Standardrepräsentant} {} {.}
}{Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus
Lemma 40.4.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M,*)} {und} {(N, \circ)} {}
Mengen mit Verknüpfungen und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine mit den Verknüpfungen verträgliche
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{,}
es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (x *y)
}
{ =} { \varphi(x) \circ \varphi(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Wenn $*$ kommutativ ist, so ist auch $\circ$ kommutativ.
}{Wenn $*$ assoziativ ist, so ist auch $\circ$ assoziativ.
}{Wenn $M$ ein neutrales Element besitzt, so besitzt auch $N$ ein neutrales Element.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und $\sim$ die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
im Sinne von
Aufgabe 38.10.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die
\definitionsverweis {affinen Unterräume}{}{}
der Form
\mathl{P+V}{} die
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
sind.
} {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Untervektorraum mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V \cap W
}
{ =} { \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und derart, dass man jeden Vektor
\mathl{u \in K^n}{} in der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{v+w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v \in V}{} und
\mathl{w \in W}{} schreiben kann. Zeige, dass $W$ ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{}
für die Äquivalenzrelation ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\N} { \Z } {n} { [(n, 0)] } {,} injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei der auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegten
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} einen Vertreter
\mathl{(x',y')}{} besitzt, bei dem
\mathkor {} {x'} {und} {y'} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)]
}
{ \defeq} { [ ( ac, bd)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\zusatzklammer {dem Äquivalenzklassenmodell von} {} {}
$\Q$ eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die
\mathl{[(1,1)]}{} als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Klassen
\mathkor {} {[(a,b)]} {und} {[(b,a)]} {}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Klassen
\mathkor {} {[(a,b)]} {und} {[(-b,-a)]} {}
invers zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Äquivalenzklassenmodell}{}{}
für $\Q$ die Addition die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,d)] + [(c,d)]
}
{ =} { [(a+c,d)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Z \times \N_+$ mit der durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegten
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
versehen. Zeige, dass es zu
\mathl{(a_1,b_1), (a_2,b_2) , \ldots , (a_n,b_n)}{} eine Zahl
\mathl{d \in \N_+}{} und ganze Zahlen
\mathl{c_1,c_2 , \ldots , c_n}{} mit
\mathl{(a_1,b_1) \sim (c_1,d) ,\, (a_2,b_2) \sim (c_2,d) , \ldots , (a_n,b_n) \sim (c_n,d)}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [(a,b)]
}
{ \geq }{[(c,d)]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a d
}
{ \geq }{ b c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf
\zusatzklammer {dem Äquivalenzklassenmodell von} {} {}
$\Q$ eine wohldefinierte
\definitionsverweis {totale Ordnung}{}{}
erhält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} { \Q } {n} { [(n,1)] } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {kommutativen}{}{,} \definitionsverweis {assoziativen}{}{}
Verknüpfung $*$ und einem neutralen Element $e$. Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a*c
}
{ = }{b*c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass auf
\mathl{M \times M}{} durch die Festlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{ (c,d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a*d
}
{ = }{ b*c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
definiert wird.
} {Zeige, dass man auf der Quotientenmenge
\mathl{M \times M/\sim}{} eine
\definitionsverweis {Gruppenstruktur}{}{}
definieren kann, die die Verknüpfung auf $M$ fortsetzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf $\Z^2 \setminus \{ (0,0)\}$ die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{.}
Zeige, dass es sich um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt, deren
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
die \anfuehrung{diskreten Geraden}{} durch den Nullpunkt ohne den Nullpunkt sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf $\Z^2$ die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{.}
Zeige, dass dies keine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $D$ und $W$ Mengen. Wir betrachten auf der Abbildungsmenge
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) }}{} diejenige
\definitionsverweis {Relation}{}{,}
bei der die Abbildungen
\maabbdisp {f,g} {D} {W
} {}
in Relation stehen, wenn es eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\pi} {D} {D
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { g \circ \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) }
} { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) }
} {.}
Einer Abbildung
\maabb {f} {D} {W
} {}
wird also die Abbildung zugeordnet, die jedem Wert
\mathl{w \in W}{} die Anzahl seiner Urbilder zuordnet. Finde möglichst viele Interpretationen für diese Situation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine Schulklasse und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} {\{1,2,3,4,5,6\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung
\maabb {f} {D} {W
} {,}
wobei jedem Schüler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine in der Klausur erzielte Note
\mathl{f(x)}{} zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in
Aufgabe 40.17
besprochene Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) }
} { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) }
} {,}
ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun
\maabbdisp {\varphi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \Q
} {}
die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.
\aufzaehlungsechs{Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis $f$.
}{Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung
\maabb {h} {W} {\N
} {.}
}{Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis $f$ allein aus der zugehörigen Notenverteilung
\mathl{\Psi(f)}{} berechnen kann.
}{Zeige, dass es eine Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) } } { \Q
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} { \tilde{\varphi} \circ \Psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
}{Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage \anfuehrung{Wie ist die Klausur ausgefallen}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Es sei $\sim$ die
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) }}{} aus
Aufgabe 40.16
und sei
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) }
} { f} { { \left( w \mapsto { \# \left( f^{-1}(w) \right) } \right) }
} {,}
die in
Aufgabe 40.17
besprochene Abbildung.
\aufzaehlungdrei{Es sei
\maabb {\pi} {D} {D
} {}
eine bijektive Abbildung und
\maabb {f} {D} {W
} {}
eine Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi (f)
}
{ =} { \Psi (f \circ \pi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es seien
\maabb {f,g} {D} {W
} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \sim }{g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(f)
}
{ = }{ \Psi(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\Psi}} { \operatorname{Abb} \, { \left( D , W \right) } /\sim \! } { \operatorname{Abb} \, { \left( W , \N \right) }
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi
}
{ = }{\tilde{\Psi} \circ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wobei $p$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{}
in die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
bezeichnet.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{(c,d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ = }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, festgelegt ist, durch die Sprünge
\mathl{\pm \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+2+2+2)}
{
Es sei $\sim$ die
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{(c,d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ = }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, festgelegt ist, und es sei $\Z=\N \times \N/ \sim$ die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von $\Z$. Es sei $G=\N \uplus \N_-$ das
\zusatzklammer {in der 18. Vorlesung eingeführte} {} {} \anfuehrung{direkte Modell}{} für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {G} { \N \times \N
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi (n) =\begin{cases} (n,0), \text{ falls } n \text{ nichtnegativ ist}\, , \\ (0,m), \text{ falls } n=-m \text{ negativ ist} \, ,\end{cases}} { }
definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung
\mathdisp {G \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \N \times \N \stackrel{p}{\longrightarrow} \Z} { . }
\aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} eine
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Addition verträglich ist.
}{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Multiplikation verträglich ist.
}{Zeige, dass
\mathl{p \circ \varphi}{} mit der Ordnung verträglich ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $(M,*,e)$ eine endliche Menge mit einer kommutativen, assoziativen \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} mit einem neutralen Element $e$. Ferner gelte in $M$ die \anfuehrung{Kürzungsregel}{:} Aus $z * x= z* y$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige, dass im
\definitionsverweis {Äquivalenzklassenmodell}{}{}
für $\Q$ die Ordnung die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,d)]
}
{ \geq} { [( c,d)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:
\mathdisp {7:2, \, 3:0, \, 0:0, \, 9:6, \, 8:0, \, 2:1, \, 4:2, \, 3:0, \, 5:5, \, 6:3, \, 3:1, \, 1:1, \, 7:0, \, 2:0, \, 6:4, \, 6:2, \, 3:4, \, 3:2} { . }
\aufzaehlungdrei{Erstelle die Äquivalenzklassen
\zusatzklammer {auf der Menge der angegebenen Ergebnisse} {} {}
gemäß der Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathl{a:b \sim c:d, \text{ falls } a+d=b+c}{,} definiert ist.
}{Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die auf
\mathl{\N \times (\N \setminus \{0\} )}{} durch
\mathl{a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc}{,} definiert ist und für die
\mathl{{ \left\{ n:0 \mid n \in \N_+ \right\} }}{} und
\mathl{\{ 0:0 \}}{} eigene Äquivalenzklassen sind.
}{Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf
\mathl{\N \times \N}{,} die auf
\mathl{( \N \setminus \{0\} ) \times (\N \setminus \{0\} )}{} durch
\mathl{a:b \sim c :d, \text{ falls } ad=bc}{,} definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind.
}
}
{} {}
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