Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von ${}(K,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ gibt.

Aufgabe

Es bezeichne ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ die (multiplikative) Einheitengruppe von ${}\mathbb {Q}$. Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{\times }$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ an.

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten die Restklassengruppe

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,.$

Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus ${}0$ besteht.

Aufgabe *

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}H$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}d$ ein Teiler von ${}n$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(d)$

derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(n)&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {Z} /(d)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo ${}2$ und modulo ${}5$ besonders einfach berechnen?

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}F$ kommutative Gruppen und sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}G$. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus mit ${}H\subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon G/\sim \rightarrow F$ mit ${}{\tilde {\varphi }}\circ p=\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.4, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ein Ideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Erstelle für ${}n=2,3,\ldots ,10$ Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$. Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im ${}n$-System zu tun?

Aufgabe *

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}36!$ modulo ${}31$.

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}12!$ modulo ${}143$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe *

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {57}}$ in ${}\mathbb {Z} /(139)$.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

${}3x=5\,$

für die folgenden Körper ${}K$:

a) ${}K=\mathbb {Q}$,

b) ${}K=\mathbb {R}$,

c) ${}K=\{0,1\}$, der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 11.4,

d) ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 41.11.

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 41.11.

${}5x=4\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}3&4\\2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}\,$

über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 41.11.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag

$K^{\times }\longrightarrow (K_{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (3 Punkte)

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über ${}\mathbb {Z} /(5)$ das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}3&0&1&2&3\\4&3&3&0&2\\3&2&1&2&3\\4&2&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&4\\1&3&3\\0&0&1\\4&2&0\\2&3&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 41.11.

${}{\begin{pmatrix}5&1\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\,.$