Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 49/latex

\setcounter{section}{49}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Polynom
\mathdisp {( 3X^2-5X+4) \cdot ( X^3-6 X^2+1 ) - (4X^3+2X^2-2X+3) \cdot (-2X^2-5X)} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Q[X]$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge $x$ voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet $10$ Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet $100$ Euro, der Überlaufrand kostet $30$ Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet $200$ Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Produkt
\mathdisp {( X^6+X^3+X^2+X+1) \cdot (X^5+ X^4+ X^2+1 )} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Z/(2)[X]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Produkt
\mathdisp {( 2X^3+4X+5) \cdot ( X^4+5 X^2+6 )} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Z/(7)[X]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{n}-1 }
{ =} {(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3} + \cdots + X^2 + X +1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid \text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt \aufzaehlungdrei{Entweder ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -F }
{ \in }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G }
{ \in }{P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F+G }
{ \in }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G }
{ \in }{P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \cdot G }
{ \in }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^2 +bx +c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem Körper $K$ maximal zwei Lösungen besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3x^2-6x+2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4 x^2+ 5 x+2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\Z/(7)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die reelle quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{7x^2 +5x - 4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch quadratisches Ergänzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax^4+bx^2+c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt \stichwort {biquadratische Gleichung} {.}


\inputaufgabe
{}
{

Löse die biquadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 +7x^2-11 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\R$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Z/(6)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eliminiere im kubischen Polynom
\mathdisp {X^3 +6X^2-5X-2} { }
den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als
\mathdisp {(X+d)^3+e(X+d) +f} { }
mit geeigneten
\mathl{d,e,f}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4+ 3 x^3-5x^2+2x-7 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^4 + b_2y^2 + b_1y +b_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.

}
{} {}

Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) } }
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \sim }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls es ein
\mathl{d \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {g+d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) } }
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \sim }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls es ein
\mathl{c \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (x) }
{ =} {g (x+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in K}{} gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) } }
{ =} { { \left\{ f:K \rightarrow K \mid f \text{ Funktion} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( K , K \right) }}{,} die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \sim }{g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls es ein
\mathl{c,d \in K}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (x) }
{ =} {g (x+c) +d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in K}{} gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper $K$ die \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2+pX+q }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist und wenn $r,s \in \R$ Zahlen sind mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r+s }
{ =} {-p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{rs }
{ =} {q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so sind \mathkor {} {r} {und} {s} {} die Lösungen der Gleichung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -7x+10 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe des Satzes von Vieta.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -101 x+100 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe des Satzes von Vieta.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{d \in \R}{.} Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 - (d+1)x+ d }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe des Satzes von Vieta.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das Polynom
\mathdisp {( 3X^4+4X+5) \cdot ( 2X^4+7X^3 +10 X^2+6X+8 ) + 3X^2 \cdot (4X^2+5)} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Z/(11)[X]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Löse die reelle quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 4 } } x^2 + { \frac{ 2 }{ 7 } } x - { \frac{ 4 }{ 5 } } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch quadratisches Ergänzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 x^2+ 3 x+ 3 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\Z/(5)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-7x^2+3x+4 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^3 +b_1 y + b_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{b_i \in \Q}{} um.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -12 x+27 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe des Satzes von Vieta.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen \zusatzklammer {unabhängig vom Polynom} {} {} beschränkt ist.

}
{} {}