Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das Polynom

im Polynomring .




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe

Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet Euro, der Überlaufrand kostet Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.


Aufgabe

Berechne das Produkt

im Polynomring .


Aufgabe

Berechne das Produkt

im Polynomring .


Aufgabe

Beweise die Formel


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt

  1. Entweder ist oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .


Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Gleichung

über einem Körper maximal zwei Lösungen besitzt.


Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen.


Aufgabe

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt Euro, ein Meter Hecke kostet Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?


Aufgabe *

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Eine Gleichung der Form

heißt biquadratische Gleichung.

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung über .


Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Gleichung

über .


Aufgabe

Eliminiere im kubischen Polynom

den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als

mit geeigneten .


Aufgabe *

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe *

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe *

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.

Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit

gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit

für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit

für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.


Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.


Aufgabe

Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung

gegeben ist und wenn Zahlen sind mit

und

so sind und die Lösungen der Gleichung.


Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.


Aufgabe

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.


Aufgabe

Sei . Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Polynom

im Polynomring .


Aufgabe (2 Punkte)

Löse die reelle quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen.


Aufgabe (1 Punkt)

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe (3 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung

mit Hilfe des Satzes von Vieta.


Aufgabe (8 Punkte)

Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.



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