Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex
\setcounter{section}{52}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3+4x^2-x +3
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-3x +1
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die reelle Zahl
\mathl{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^4-20X^ 2+16}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt ein Polynom
\mathbed {P \in \R[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein Polynom
\mathbed {Q \in \Q[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subset }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Zeige, dass für $K$ der Zwischenwertsatz nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(A,B)}{} ein
\definitionsverweis {Dedekindscher Schnitt}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {\Q} {\Q
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0\, , \text{ falls } x \in A\, , \\ 1\, ,\text{ falls } x \in B \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wenn
\mathl{(A,B)}{} eine
\definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{}
beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {I} {J } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} zwischen den \definitionsverweis {reellen Intervallen}{}{} $I$ und $J$. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder \definitionsverweis {streng fallend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
\maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[}
} {}
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist. }{Zeige, dass durch das Polynom $X^5$ eine bijektive Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(7) } {\Z/(7) } {x} {x^5 } {,} gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ maximal $d$
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es gebe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ \geq} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
des
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
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