Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es gelten die folgenden Aussagen.
- Jede natürliche Zahl
besitzt eine eindeutige Summendarstellung
(mit
) mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden (also
) unter allen Darstellungen minimal ist.
-
- Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
a) Die Koeffizienten, die sich auf
beziehen, sind
.
b) Die Koeffizienten, die sich auf
beziehen, sind
.
c) Falls der Koeffizient, der sich auf(bzw.
bzw.
) bezieht, gleich
ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf
bzw.
bzw.
bezieht) gleich
.
- Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend
bestimmt, wobei man folgendermaßen vorgeht
definiere
definiere
etc.
-
Wenn eine Menge ist und wenn
und
bijektive Abbildungen sind,
so ist
Die Anzahl einer endlichen Menge ist also wohldefiniert.
Es seien und
Modelle für die natürlichen Zahlen.
Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung
die das Zählen
(also die und die Nachfolgerabbildung)
respektiert.
Für jede
natürliche Zahl
sei eine Aussage
gegeben. Es gelte
ist wahr.
- Für alle
gilt: wenn
gilt, so ist auch
wahr.
Dann gilt für alle
.
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es genau eine Verknüpfung
mit
Es seien
und
disjunkte
endliche Mengen
mit
bzw.
Elementen.
Dann besitzt ihre
Vereinigung
gerade
Elemente.
Auf den natürlichen Zahlen
gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
die
erfüllt.
Es seien
und
endliche Mengen
mit
bzw.
Elementen.
Dann besitzt die Produktmenge genau
Elemente.
Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei
und
seien.
Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gleich , wenn einer der Faktoren
ist.
Aus einer Gleichung
mit
und mit
folgt
.
Für
natürliche Zahlen
gilt
genau dann, wenn es ein
mit
gibt.
Auf den natürlichen Zahlen
ist durch die Größergleich-Relation eine
totale Ordnung
definiert.
Es seien
natürliche Zahlen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
genau dann, wenn
ist.
-
- Aus
und
folgt
-
- Aus
folgt
-
- Aus
und
folgt
-
- Aus
und
folgt
-
Es sei eine
endliche Menge
mit
Elementen und es sei
eine Teilmenge, die Elemente besitze.
Dann besitzt
genau Elemente.
Es seien natürliche Zahlen mit
.
Dann ist
Die natürlichen Zahlen
bilden einen kommutativen Halbring.
Es sei ein
kommutativer Halbring
und es seien
Elemente aus
.
Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz
In einem
kommutativen Halbring
gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
Jede
natürliche Zahl
,
,
besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit
Primzahlen
.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Auf einer
endlichen Menge
mit
Elementen
gibt es
bijektive Abbildungen
von
nach
.
Die Anzahl der -elementigen Teilmengen in einer
-elementigen Menge ist
der Binomialkoeffizient
Insbesondere sind die Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen.
Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
Es sei ein
kommutativer Halbring
und
.
Ferner sei
eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
,
, mit
Zu jeder natürlichen Zahl
gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen und
mit
und mit
(außer bei
)
mit der Eigenschaft
Es seien
und
zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem
(also mit
).
Dann ist
genau dann, wenn
oder wenn
ist und wenn es ein
,
,
derart gibt, dass
ist.
Das schriftliche Addieren im Zehnersystem ist korrekt.
Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.
Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.
Es sei
eine Gleichung in der Variablen über einem gegebenen Zahlenbereich
. Es sei
eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
- Wenn
eine Lösung der Gleichung ist, so ist
auch eine Lösung der umgeformten Gleichung
-
- Wenn
injektiv ist, so ist
genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn
eine Lösung der umgeformten Gleichung
ist.
-
Die
ganzen Zahlen
bilden einen kommutativen Ring.
Es sei eine
Gruppe.
Dann ist zu jedem
das Element
mit
eindeutig bestimmt.
Es sei eine
Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen
die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen
.
Es seien
zwei
teilerfremde
natürliche Zahlen.
Dann gibt es ganze Zahlen
mit
.
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl
und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
,
, mit
Die
Untergruppen
von sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl .
Es seien ganze Zahlen
und
gegeben.
Dann besitzt die Folge
,
,
der
euklidischen Reste
folgende Eigenschaften.
- Es ist
oder
.
- Es gibt ein (minimales)
mit
.
- Es ist
für alle
-
- Sei
der erste Index derart, dass
ist. Dann ist
-
Es seien ganze Zahlen.
Dann ist
wobei das
kleinste gemeinsame Vielfache
der
ist.
Für natürliche Zahlen gelten folgende Aussagen.
- Für teilerfremde
ist
-
- Es gibt
mit
wobei
teilerfremd sind.
-
- Es ist
-
- Es ist
-
Es sei eine
Primzahl
und
teile ein Produkt
von natürlichen Zahlen
.
Dann teilt einen der Faktoren.
Jede natürliche Zahl
,
,
besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit
Primzahlen
, und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Es seien
und
positive natürliche Zahlen. Dann wird
von
genau dann geteilt,
wenn für jede Primzahl die Beziehung
gilt.
Es seien
und
positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen
und
.
Dann ist
und
Es sei ein proportionaler Zusammenhang
zwischen den beiden Größen
und
gegeben. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist
-
- Es ist
-
- Wenn man die Größe
um einen bestimmten Wert
erhöht, so erhöht sich die Größe
um einen bestimmten Wert
, der unabhängig von
ist.
- Wenn man die Größe
um einen bestimmten Faktor vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht), so vervielfacht (verdoppelt, verdreifacht, verzehnfacht) sich die Größe
um den gleichen Faktor.
Die
rationalen Zahlen
erfüllen die folgenden Eigenschaften.
- Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit
als neutralem Element. Zu jedem
gibt es ein
mit
-
- Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit
als neutralem Element. Zu jedem
,
, gibt es ein
mit
-
- Es gilt das Distributivgesetz.
Es sei ein
Körper. Aus
folgt
oder
.
Die rationalen Zahlen bilden mit der in der
Definition 24.1
festgelegten
Ordnung
einen angeordneten Körper.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes
mit
die Abschätzung
Es sei ein
archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zu
mit
stets ein
mit
.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei
.
Dann gibt es eine natürliche Zahl
mit
.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und
.
Dann gibt es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit
Es sei ein
angeordneter Körper,
eine Teilmenge und
eine streng wachsende (oder streng fallende) Funktion.
Dann ist
injektiv.
Es sei ein
angeordneter Körper,
und
die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Bei
ist
streng wachsend.
- Bei
ist
konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend.
- Bei
ist
streng fallend.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Abbildung
ist streng wachsend.
-
- Die Abbildung
ist bei
ungerade streng wachsend.
-
- Die Abbildung
ist bei
gerade streng fallend.
-
Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.
Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.
Zu jeder
rationalen Zahl
und jedem
gibt es ein eindeutig bestimmtes
derart, dass
gilt.
D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut
(nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ist)
durch
Dezimalbrüche
approximieren kann.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
ein positives Element. Dann besitzt die
(ganzzahlige)
Exponentialfunktion
zur Basis die folgenden Eigenschaften.
- Bei
ist die Exponentialfunktion streng wachsend.
- Bei
ist die Exponentialfunktion streng fallend.
Es sei ein
archimedisch angeordneter Körper
und
gegeben mit der zugehörigen
Exponentialfunktion
zur Basis . Es sei
eine natürliche Zahl.
Dann gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Es seien natürliche Zahlen mit
positiv und es seien
,
,
und
,
,
die im
Divisionsalgorithmus
berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
liegen zwischen
und
.
- Die
,
, liegen zwischen
und
.
- Wenn für ein
der Rest
ist, so sind für alle
auch
. und
.
- Es gibt ein
und ein
mit
derart, dass für die Ziffern mit
die Beziehung
gilt.
-
- Wenn man statt
den Divisionsalgorithmus
mit
ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl
wohldefiniert.
- Bei der Division von
durch eine Zehnerpotenz
ist
(was bei
als
zu lesen ist) und
(was für
als
zu lesen ist). Die Ziffernfolge
ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.
-
- Der Bruch
ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest
gleich
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge
ab einem
konstant gleich
ist.
Es sei
ein Element in einem
archimedisch angeordneten Körper
und es sei
,
,
die zugehörige
(kanonische)
Dezimalbruchfolge.
Dann ist
d.h. der -te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl
bis auf einen Fehler von maximal
. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von
Definition 28.5
vor.
Es seien natürliche Zahlen mit
positiv und es seien
,
,
und
,
,
die im
Divisionsalgorithmus
berechneten Folgen.
Dann ist
die
Dezimalbruchfolge
zu . Insbesondere ist für jedes
Es sei
ein Element in einem
archimedisch angeordneten Körper
.
Dann
konvergiert
die zugehörige
Dezimalbruchfolge
,
,
gegen
.
Zu einer rationalen Zahl
konvergiert
die
Dezimalbruchfolge,
die man aus dem
Divisionsalgorithmus
erhält, gegen .