Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$, die beide gegen $c \in K$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
mögen. Zeige, dass die Differenzfolge
\mathl{x_n-y_n}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{5}$ zum Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Konvergiert diese Folge in $\Q$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{c \in \Q_+}{,} $x_0 \in \Q_+$ und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die zugehörige
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$. Wann konvergiert diese Folge in $\Q$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 2 }{ 3n+5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ab welchem
\zusatzklammer {minimalen} {} {}
$n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 4n-3 }{ 5n-2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ab welchem
\zusatzklammer {minimalen} {} {}
$n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - { \frac{ 4 }{ 5 } } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{} noch den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ändert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei die rationale Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} folgendermaßen definiert: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die größte Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n^2
}
{ \leq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge eine
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {- x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{ K_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x \in K$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \defeq} { x_n -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Folge eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.12 bewiesen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$. Es sei
\mathl{c \in K}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) }
}
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}
}
{ =} { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
zwei
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{}
in $K$. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$ mit
\mathl{x_n \in I}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Die Folge
\definitionsverweis {konvergiere}{}{}
gegen $x \in K$. Zeige
\mathl{x\in I}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in keinem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Kann sie
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sein?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit Hilfe
der Bernoulli-Ungleichung
den Grenzwert der Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \left( 1- { \frac{ 1 }{ n^2 } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 13.30
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,}
in dem die Wurzeln
\mathl{\sqrt[n]{n}}{} zu
\mathl{n \in \N_+}{} existieren. Zeige, dass die Folge
\mathl{x_n = \sqrt[n]{n}}{} ab
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
in einem angeordneten Körper $K$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \sum_{k = 1 }^n { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq} {2{,}5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und seien $a,b \in K_+$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ak+b}} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ \sqrt{k} }} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige analog zu Beispiel 44.14, dass das \zusatzklammer {gliedweise} {} {} Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass $K$ genau dann
\definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
der
\definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } },\, n \geq 1}{,} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Die Quadratfolgen
\mathl{x_n^2}{} und
\mathl{y_n^2}{} seien konvergent und es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe Beispiele für
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert,
}{gegen $1$ konvergiert,
}{divergiert.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ \defeq} { \frac{ x_0 + x_1 + \cdots + x_n }{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 44.31
hilfreich.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathl{c \in K_+}{.} Es seien
\mathl{x_0,y_0 \in K_+}{} Startwerte und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {bzw.} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Heron-Folgen}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$. Zeige, dass
\mathl{x_n-y_n}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n^3}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+1} \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+2}} { }
\definitionsverweis {divergieren}{}{.}
}
{} {}