Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linalg_parallelogram_area.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linalg parallelogram area.png } {Nicholas Longo} {Thenub314} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren \mathkor {} {(x_1,y_1)} {und} {(x_2,y_2)} {} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten \stichwort {Parallelogramms} {} \zusatzklammer {bis auf das Vorzeichen} {} {} übereinstimmt.
$\,$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)}{} und
\mathl{P_3=(a_3,b_3)}{} drei Punkte im $\R^2$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit
\mathl{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3}{} dar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke die Funktion $\nu^2$ als Funktion der
\mathl{L_{ij}^2}{}
\zusatzklammer {siehe Vorlesung 1} {} {} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke die Funktion $S_{12}+S_{13}+S_{23}$ als Funktion der
\mathl{L_{ij}^2}{}
\zusatzklammer {siehe Vorlesung 1} {} {} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^6} {\R^3
} { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( \sqrt{ { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 } , \, \sqrt{ { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 } , \, \sqrt{ { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 } \right)
} {,}
die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Zeige, dass das Bild dieser Abbildung die Punkte
\mathl{\left( \ell_1 , \, \ell_2 , \, \ell_3 \right) \in \R_{\geq 0}^3}{} sind, die die
\definitionsverweis {Dreiecksungleichung}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die \definitionsverweis {Ähnlichkeit von Dreiecken}{}{} analog zu Beispiel 1.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir fassen ein Dreieck $\triangle$ als ein geordnetes Tripel
\mathl{(P_1,P_2,P_3) \in \R^6}{} auf. Begründe die folgenden topologischen Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{Die Menge der nichtentarteten Dreiecke ist
\definitionsverweis {offen}{}{.}
}{Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
}{Die Menge der gleichschenkligen Dreiecke ist abgeschlossen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^6} {\R^3 } { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 , \, { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 , \, { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 \right) } {,} die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} der Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Zeige, dass ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {homogenen Komponenten}{}{}
von $F$ symmetrisch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{R=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zu
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
sei
\mathl{\operatorname{ LM}_{ } ^{ } { \left( f \right) }}{} das
\definitionsverweis {Leitmonom}{}{} zu $f$ in der
\definitionsverweis {gradlexikographischen Ordnung}{}{.}
Zeige, dass das Leitmonom sich multiplikativ verhält, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ LM}_{ } ^{ } { \left( fg \right) }
}
{ =} { \operatorname{ LM}_{ } ^{ } { \left( f \right) } \cdot \operatorname{ LM}_{ } ^{ } { \left( g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für Polynome
\mathl{f,g \neq 0}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {symmetrische Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3Y^3-2X^2-2Y^2+5XY} { }
als Polynom in den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {symmetrische Polynom}{}{}
\mathdisp {3X^2Y^2Z^2-X^4-Y^4-Z^4+X^3Y^3Z^3} { }
als Polynom in den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die
\definitionsverweis {symmetrischen Polynome}{}{}
\mathdisp {X_1^k + \cdots + X_n^k} { }
als Polynom in den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Fasern \zusatzklammer {bis auf \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}} {} {} der \definitionsverweis {Längenabbildung}{}{} $L$ aus Beispiel 1.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {L} {\R^6} {\R^3
} { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( \sqrt{ { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 } , \, \sqrt{ { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 } , \, \sqrt{ { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 } \right)
} {,}
die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Es sei $B$ das Bild der Abbildung. Gibt es eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {s} {B} {\R^6
} {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ B }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {K^6} {K^3 } { \left( x_1 , \, y_1 , \, x_2 , \, y_2 , \, x_2 , \, y_2 \right) } { \left( { \left( x_1-x_2 \right) }^2 + { \left( y_1- y_2 \right) }^2 , \, { \left( x_1-x_3 \right) }^2 + { \left( y_1- y_3 \right) }^2 , \, { \left( x_2-x_3 \right) }^2 + { \left( y_2- y_3 \right) }^2 \right) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine dritte
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
\mathl{\zeta}{} enthalte. Zeige, dass das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( X_1+ \zeta X_2 +\zeta^2 X_3 \right) }^3
}
{ \in }{ K[X_1,X_2,X_3]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist und bestimme seine
Darstellung
mit den
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der durch die \definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynome}{}{} definierten Gesamtabbildung \maabbeledisp {} {\R^n} { \R^n } {{ \left( x_1 , \ldots , x_n \right) } } {{ \left( E_1 { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) }
, \ldots , E_n { \left( x_1 , \ldots , x_n \right) }
\right) }
} {.}
}
{} {}
| Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013) | >> |
|---|