Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 2

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Es sei die Gruppe der Permutationen auf . Zeige folgende Aussagen.

  1. Wenn auf operiert, so ist die Abbildung

    ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

    vorliegt, so wird durch

    eine Gruppenoperation von auf definiert.


Aufgabe

Zeige, dass die -Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe

Bestimme für die Operation der Kongruenzen die Isotropiegruppen zu jedem Dreieck .


Aufgabe

Sei . Betrachte die Gruppenoperation der -ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf . Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen dieser Operation. Kann man die Quotientenabbildung durch eine polynomiale Funktion realisieren?


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und die allgemeine lineare Gruppe mit ihrer natürlichen Operation auf . Zeige, dass diese Gruppenoperation transitiv ist. Wie sieht es aus, wenn man betrachtet?


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und die allgemeine lineare Gruppe zusammen mit ihrer natürlichen Operation auf der Menge

Zeige, dass diese Operation transitiv ist. Wie sieht es auf ganz aus?


Aufgabe

Zeige, dass die Isotropiegruppe bei einer Gruppenoperation kein Normalteiler sein muss.


Aufgabe

Diskutiere Links- und Rechtsoperationen.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und

Zeige, dass ein kommutativer Ring ist. Man gebe auch ein Beispiel an, das zeigt, dass im Allgemeinen nicht nullteilerfrei ist.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Gemäß Aufgabe 2.1 ergibt eine Gruppenoperation für jedes eine Bijektion auf . Wenn zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert.

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, auf dem eine Gruppe operiere, wobei zu jedem die Abbildung stetig sei. Zeige, dass dadurch eine Operation (von rechts) von auf dem Ring der stetigen Funktionen als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.


Aufgabe

Wir betrachten die geordneten Dreiecke als Punkte im . Definiere eine Gruppenoperation der auf dem derart, dass die Bahnen den ungeordneten Dreiecken (also den Dreiecken ohne Nummerierung) entsprechen. Bestimme die Isotropiegruppen zu jedem Dreieck.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.


Aufgabe

Betrachte zur symmetrischen Gruppe die Operation durch Konjugation. Bestimme die Bahnen und die Isotropiegruppen für .


Aufgabe

Es sei die Menge der invertierbaren -Matrizen über einem Körper . Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen und aus die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die geordneten Dreiecke als Punkte im . Betrachte die Gruppenoperation der auf dem durch Umnummerierung der Eckpunkte. Man gebe sechs reelle Polynome an derart, dass die Fasern der dadurch definierten Gesamtabbildung

genau die Bahnen der Operation sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die reellen Zahlen auf der Menge der komplexen Zahlen durch

operiert. Bestimme die Bahnen, die Isotropiegruppen und die Quotientenabbildung dieser Operation.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine stetige Funtion

    mit für alle .

  2. Für alle -ten Einheitswurzeln (alle ) ist für alle .
  3. Für alle mit ist für alle .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome

über einem Körper , und es sei die Menge der Transformationen vom Typ mit .

a) Zeige, dass auf in natürlicher Weise operiert.

b) Zeige, dass auf durch Multiplikation mit operiert.

c) Zeige, dass die Diskriminante, also der Ausdruck , der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist, -verträglich bezüglich dieser beiden Operationen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Konjugationsklassen der (eigentlichen) Würfelgruppe.



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