Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 1

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe

Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.


Aufgabe

Drücke die Funktion als Funktion der (siehe Vorlesung 1) aus.


Aufgabe

Drücke die Funktion als Funktion der (siehe Vorlesung 1) aus.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Zeige, dass das Bild dieser Abbildung die Punkte sind, die die Dreiecksungleichung erfüllen.


Aufgabe

Diskutiere die Ähnlichkeit von Dreiecken analog zu Beispiel 1.1.


Aufgabe

Wir fassen ein Dreieck als ein geordnetes Tripel auf. Begründe die folgenden topologischen Eigenschaften.

  1. Die Menge der nichtentarteten Dreiecke ist offen.
  2. Die Menge der gleichseitigen Dreiecke ist abgeschlossen.
  3. Die Menge der gleichschenkligen Dreiecke ist abgeschlossen.


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die regulären Punkte der Abbildung.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann symmetrisch ist, wenn die homogenen Komponenten von symmetrisch sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu , , sei das Leitmonom zu in der gradlexikographischen Ordnung. Zeige, dass das Leitmonom sich multiplikativ verhält, dass also

für Polynome gilt.


Aufgabe

Schreibe das symmetrische Polynom

als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.


Aufgabe

Schreibe das symmetrische Polynom

als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.


Aufgabe

Schreibe die symmetrischen Polynome

als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Fasern (bis auf Homöomorphie) der Längenabbildung aus Beispiel 1.1.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Dreieck die Längen seiner Seiten zuordnet. Es sei das Bild der Abbildung. Gibt es eine stetige Abbildung

mit


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, der eine dritte primitive Einheitswurzel enthalte. Zeige, dass das Polynom

symmetrisch ist und bestimme seine Darstellung mit den elementarsymmetrischen Polynomen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der durch die elementarsymmetrischen Polynome definierten Gesamtabbildung



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