Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{} von \definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F }
{ \subseteq }{S_F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, die Begriffe \definitionsverweis {algebraisch}{}{} und \definitionsverweis {ganz}{}{} für ein Element
\mathl{x \in A}{} übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {ganzen Ringerweiterung}{}{}
\mathl{R \subseteq S}{,} wo es einen \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mathl{f \in R}{} gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_S$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.} Zeige, dass jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} enthält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{R,S,T}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{Fakt}{} und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y]/(F)} { }
eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K[T]$-Algebra ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K$-Algebra. Zeige: Dann ist $A$ \definitionsverweis {artinsch}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das von $f$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S }
{ =} { (f)R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{} \definitionsverweis {prim}{}{} in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} äquivalent sein.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}

}
{(Man sagt daher, dass normal eine \stichwort {lokale Eigenschaft} {} ist.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus
\mathl{K[M] \subseteq K[N]}{} genau dann \definitionsverweis {endlich}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mathl{n \in N}{} ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mathl{kn \in M}{} gibt.

}
{} {}