Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 10

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige ebenso durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die Reduktion.

Sei ein kommutativer Ring und das Nilideal von , das aus allen nilpotenten Elementen von besteht. Dann nennt man den Restklassenring die Reduktion von .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra, die als -Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann ist genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.

Aufgabe

Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei . Finde eine -Unteralgebra von , die nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige: Wenn artinsch und -linear und injektiv ist, so ist ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das noethersch ist.



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