Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 11

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.


Aufgabe *

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und eine -Algebra. Zeige, dass wenn ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung , wo es einen Nichtnullteiler gibt, der ein Nullteiler in wird.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei , eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt normal ist.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich. Sei angenommen, dass die Normalisierung von gleich dem Quotientenkörper ist. Zeige, dass dann selbst schon ein Körper ist.


Aufgabe *

Sei ein normaler Integritätsbereich und , . Zeige, dass die Nenneraufnahme ebenfalls normal ist.


Aufgabe

Sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme normal ist.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

eine endliche -Algebra ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und eine endliche -Algebra. Zeige: Dann ist artinsch.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und eine ganze Ringerweiterung. Sei . Zeige, dass für das von erzeugte Hauptideal gilt:


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring normal ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Es sei vorausgesetzt, dass keine Quadratwurzel in besitzt. Zeige, dass das Polynom prim in ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist normal.
  2. Für jedes Primideal ist die Lokalisierung normal.
  3. Für jedes maximale Ideal ist die Lokalisierung normal.

(Man sagt daher, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (4 Punkte)

Seien endlich erzeugte kommutative Monoide. Zeige, dass für einen Körper der Ringhomomorphismus genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ein mit gibt.



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