Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 12

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und ein -graduierter Ring. Zeige, dass ganz über der neutralen Stufe ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein -graduierter normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch die neutrale Stufe normal ist.


Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe auf dem Polynomring über einem Körper . Bestimme eine Ganzheitsgleichung für die Variablen über dem Invariantenring.


Aufgabe

Begründe, dass endlich ist. Wie sieht es über bzw. aus?


Aufgabe

Begründe, dass endlich ist. Wie sieht es über bzw. aus?


Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der alternierenden Gruppe auf dem . Für welche ist der Invariantenring faktoriell?


Aufgabe

Sei ein Körper und . Bestimme den Typ des -ten Veronese-Ringes . Für welche handelt es sich um einen Gorenstein-Ring?


Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei ein -Modul. Eine Operation von auf als Gruppe von -Modulautomorphismen heißt verträglich (bezüglich der Operation von auf ), wenn

für alle , und gilt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ein -Modul, auf dem als Gruppe von -Modulautomorphismen operiere, wobei die beiden Operationen verträglich seien. Zeige, dass der Fixmodul ein -Modul.


Aufgabe

Sei ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von gleich eins ist.


Aufgabe

Es sei ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen und . Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension . Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings mindestens ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, auf dem eine endliche Gruppe als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Es sei

ein Charakter. Zeige, dass zu jedem die Summe

zu gehört.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und eine integre -Algebra, auf dem eine endliche Gruppe als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere. Es sei

ein Charakter und der zugehörige -Modul der Semiinvarianten. Es sei vorausgesetzt. Zeige, dass es einen -Modulhomomorphismus derart gibt, dass nach Nenneraufnahme an einem Element , , ein Isomorphismus wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei mit der -Graduierung versehen, bei der den Grad und den Grad bekommt. Zeige, dass die Stufen , , (als -Moduln) nicht isomorph zu sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass die Krulldimension zwei besitzt.



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