Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $R$ ein $D$-graduierter Ring. Zeige, dass $R$ ganz über der neutralen Stufe $R_0$ ist.

Aufgabe

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $R$ ein $D$-graduierter normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch die neutrale Stufe $R_0$ normal ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe $S_n$ auf dem Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ über einem Körper $K$. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für die Variablen $X_i$ über dem Invariantenring.

Aufgabe

Begründe, dass  $K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/(xy-z^n)$  endlich ist. Wie sieht es über $K[x,z]$ bzw. $K[y,z]$ aus?

Aufgabe

Begründe, dass  $K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/(x^2+y{z}^2+z^{m+1})$  endlich ist. Wie sieht es über $K[x,y]$ bzw. $K[x,z]$ aus?

Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der alternierenden Gruppe $A_n$ auf dem $K[X_1,\dots ,X_n]$. Für welche  $n\in \mathbb{N}$  ist der Invariantenring $K[X_1,\dots ,X_n{]}^{A_n}$ faktoriell?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $s\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Bestimme den Typ des $s$-ten Veronese-Ringes $K[U,V{]}^{(s)}$. Für welche $s$ handelt es sich um einen Gorenstein-Ring?

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei $V$ ein $R$-Modul. Eine Operation von $G$ auf $V$ als Gruppe von $R^G$-Modulautomorphismen heißt verträglich (bezüglich der Operation von $G$ auf $R$), wenn

$(f\sigma )\cdot (v\sigma )=(f\cdot v)\sigma$

für alle  $\sigma \in G$,   $f\in R$  und  $v\in V$  gilt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei $V$ ein $R$-Modul, auf dem $G$ als Gruppe von $R^G$-Modulautomorphismen operiere, wobei die beiden Operationen verträglich seien. Zeige, dass der Fixmodul $V^G$ ein $R^G$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von $R$ gleich eins ist.

Aufgabe

Es sei $\phi :R\to S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen $R$ und $S$. Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann $\phi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension $d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings $R[X]$ mindestens $d+1$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi :G⟶K^{\times }$

ein Charakter. Zeige, dass zu jedem  $f\in R$  die Summe

$\sum _{\sigma \in G}\frac{f\sigma }{\chi (\sigma )}$

zu $R_{\chi }^G$ gehört.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine integre $K$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi :G⟶K^{\times }$

ein Charakter und $R_{\chi }^G$ der zugehörige $R^G$-Modul der Semiinvarianten. Es sei  $R_{\chi }^G\ne 0$  vorausgesetzt. Zeige, dass es einen $R^G$-Modulhomomorphismus $\phi :R^G\to R_{\chi }^G$ derart gibt, dass $\phi$ nach Nenneraufnahme an einem Element $f\in R^G$, $f\ne 0$, ein Isomorphismus wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $K[U,V]$ sei mit der $\mathbb{Z}/(n)$-Graduierung versehen, bei der $U$ den Grad $1$ und $V$ den Grad $-1$ bekommt. Zeige, dass die Stufen $R_d$, $d\ne 0$, (als $R_0$-Moduln) nicht isomorph zu $R_0$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  $R=K[X,Y]$  der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die Krulldimension zwei besitzt.