Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine endliche \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $R$ ein $D$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über der \definitionsverweis {neutralen Stufe}{}{} $R_0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $R$ ein $D$-\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{} $R_0$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die natürliche Operation der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_n$ auf dem \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Bestimme eine \definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{} für die Variablen $X_i$ über dem \definitionsverweis {Invariantenring}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass
\mathl{K[x,y] \subseteq K[x,y,z]/(xy-z^n)}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,z]}{} bzw.
\mathl{K[y,z]}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass
\mathl{K[y,z] \subseteq K[x,y,z]/(x^2+yz^2+z^{m+1})}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,y]}{} bzw.
\mathl{K[x,z]}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die natürliche Operation der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_n$ auf dem
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Für welche
\mathl{n \in \N}{} ist der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^{A_n}}{} \definitionsverweis {faktoriell}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{s \in \N_+}{.} Bestimme den Typ des $s$-ten \definitionsverweis {Veronese-Ringes}{}{}
\mathl{K[U,V]^{(s)}}{.} Für welche $s$ handelt es sich um einen Gorenstein-Ring?

}
{} {}

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{,} und es sei $V$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Eine Operation von $G$ auf $V$ als Gruppe von $R^G$-\definitionsverweis {Modulautomorphismen}{}{} heißt \definitionswort {verträglich}{} \zusatzklammer {bezüglich der Operation von $G$ auf $R$} {} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f\sigma ) \cdot (v \sigma ) }
{ =} { (f \cdot v ) \sigma }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{\sigma \in G}{,}
\mathl{f \in R}{} und
\mathl{v \in V}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei $V$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{,} auf dem $G$ als Gruppe von $R^G$-\definitionsverweis {Modulautomorphismen}{}{} operiere, wobei die beiden Operationen \definitionsverweis {verträglich}{}{} seien. Zeige, dass der \definitionsverweis {Fixmodul}{}{} $V^G$ ein $R^G$-Modul.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} von $R$ gleich eins ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} Die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann $\varphi$ ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} von endlicher \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} $d$. Zeige, dass die Krulldimension des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $R[X]$ mindestens
\mathl{d+1}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {kommutative}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei \maabbdisp {\chi} {G} { K^{\times} } {} ein \definitionsverweis {Charakter}{}{.} Zeige, dass zu jedem
\mathl{f \in R}{} die Summe
\mathdisp {\sum_{\sigma \in G} { \frac{ f \sigma }{ \chi(\sigma) } }} { }
zu
\mathl{R^G_\chi}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei \maabbdisp {\chi} {G} { K^{\times} } {} ein \definitionsverweis {Charakter}{}{} und
\mathl{R^G_\chi}{} der zugehörige $R^G$-\definitionsverweis {Modul}{}{} der \definitionsverweis {Semiinvarianten}{}{.} Es sei
\mathl{R^G_\chi \neq 0}{} vorausgesetzt. Zeige, dass es einen $R^G$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {R^G} {R^G_\chi } {} derart gibt, dass $\varphi$ nach \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} an einem Element
\mathbed {f \in R^G} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[U,V]}{} sei mit der $\Z/(n)$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{} versehen, bei der $U$ den Grad $1$ und $V$ den Grad $-1$ bekommt. Zeige, dass die Stufen
\mathbed {R_d} {}
{d \neq 0} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {als $R_0$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}} {} {} nicht isomorph zu
\mathl{R_0}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass $R$ die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} zwei besitzt.

}
{} {}