Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Zeige, dass das Nullideal
\mathl{(0) \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ein \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} der Operation von $G$ auf dem \definitionsverweis {Spektrum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$. Wir betrachten die Operation von
\mathl{\Z/(2)}{} auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[T] \right) }}{,} wobei das nichttriviale Element durch
\mathl{T \mapsto -T}{} operieren möge. Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} dieser Operation.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Operationen auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[X,Y] \right) }}{,} die durch folgende Untergruppen $G$ der
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} gegeben sind. \aufzaehlungfuenf{
\mathl{G= \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} }{
\mathl{G= \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{,} }{
\mathl{G= {\mathbb C}^{\times}={\mathbb C}^{\times} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{.} }{
\mathl{G}{} die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen. }{
\mathl{G}{} die Gruppe der reellen Drehmatrizen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} und damit auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} \definitionsverweis {operiere}{}{.} Es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Stabilisator}{}{}
\mathl{G_{\mathfrak p}}{} auf dem \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R_{\mathfrak p}$ und auf dem \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak p} )}{} in natürlicher Weise operiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf $R$ als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} operiere. Es sei ${\mathfrak m} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,} das unter der zugehörigen Gruppenoperation auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ein \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} sei. Zeige, dass die nach Aufgabe 15.1 zugehörige Operation von $G$ auf dem \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathl{\kappa( {\mathfrak m} )}{} trivial ist.

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Operation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ heißt \definitionswort {fixpunktfrei}{,} wenn für jedes
\mathbed {g \in G} {}
{g \neq e} {}
{} {} {} {,} die Abbildung \maabbeledisp {} {M} {M } {x} {g x } {,} \definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Operation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ genau dann \definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{} ist, wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} der \definitionsverweis {Stabilisator}{}{}
\mathl{G_x}{} \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.

}
{} {}

Eine Gruppenoperation auf einem Spektrum ist in den seltensten Fällen fixpunktfrei im strengen Sinne der obigen Definition. Häufig kann man aber die Operation auf eine offene Teilmenge derart einschränken, dass sie auf den maximalen Idealen dieser offenen Menge fixpunktfrei ist.

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die natürliche \definitionsverweis {Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{}
\mathl{S_n}{} auf dem $K^n$, wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mathl{\neq 2}{} bezeichne. Bestimme die größte Teilmenge
\mathl{U \subseteq K^n}{} derart, dass $S_n$ auf $U$ \definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{} operiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mathl{\neq 2}{.} Wir betrachten die natürliche \definitionsverweis {Operation}{}{} der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{}
\mathl{S_n}{} auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[T_1 , \ldots , T_n ] \right) }}{.} Bestimme die größte \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \operatorname{Spek} { \left( K[T_1 , \ldots , T_n ] \right) }}{} derart, dass $S_n$ auf der Menge der \definitionsverweis {abgeschlossenen Punkte}{}{} aus $U$ \definitionsverweis {fixpunktfrei}{}{} operiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\sigma} {R} {R } {} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f-f \sigma \mid f \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ eine Untergruppe von $(R,+)$ ist, aber im Allgemeinen kein \definitionsverweis {Ideal}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\sigma} {R} {R } {} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ f-f \sigma \mid f \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und betrachten ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$. Zeige, dass aus
\mathl{M \subseteq {\mathfrak p}}{} folgt, dass
\mathl{{\mathfrak p}}{} ein \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} unter der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zu $\sigma$ ist, und dass davon nicht die Umkehrung gelten muss.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 14.13 hilfreich.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} die auf dem ${\mathbb C}^n$ \definitionsverweis {linear operiere}{}{.} Es sei
\mathl{S={\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n ]^G}{} der zugehörige \definitionsverweis {Invariantenring}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}^n \backslash G}{,} versehen mit der \definitionsverweis {Bildtopologie}{}{} des \zusatzklammer {euklidischen} {} {} ${\mathbb C}^n$, mit dem ${\mathbb C}$-Spektrum
\mathl{{\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{,} versehen mit der \definitionsverweis {natürlichen Topologie}{}{,} übereinstimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{} und es sei
\mathl{{\mathfrak p} \in \operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} der zugehörigen Operation auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} ist, wenn die \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
\mathl{V( {\mathfrak p} )}{} $G$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei \maabbdisp {\sigma} {R} {R } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Menge der abgeschlossenen Fixpunkte der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\sigma^*} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} gleich der Menge der abgeschlossenen Punkte in
\mathl{V(M)}{} mit
\mathl{M= { \left\{ f-f\sigma \mid f \in R \right\} }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Wir betrachten die natürliche Operation der \definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_3$ auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( K[X,Y,Z] \right) }}{} zusammen mit der Quotientenabbildung \maabbdisp {} {\operatorname{Spek} { \left( K[X,Y,Z] \right) } } {\operatorname{Spek} { \left( K[E_1,E_2,E_3] \right) } } {.} Man gebe für jede mögliche Anzahl
\mathl{n \in \{1 , \ldots , 6 \}}{} einen abgeschlossenen Punkt
\mathl{P \in \operatorname{Spek} { \left( K[E_1,E_2,E_3] \right) }}{} an, derart, dass die \definitionsverweis {Faser}{}{} über $P$ aus genau $n$ Punkten besteht.

}
{} {}