Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 16

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

-bilinear ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die -Modulisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige folgende Aussagen.

  1. Zu einem multiplikativen System ist .
  2. Zu einem Ideal ist .


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe und sei ein direkter Summand. Zeige, dass für jeden -Modul die natürliche Abbildung

injektiv ist.


Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt flach, wenn die Tensorierung mit die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass der -Modul flach ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht flachen Moduls über einem kommutativen Ring.


Aufgabe

Es sei eine endlich erzeugte kommutative Gruppe und

eine direkte Zerlegung (mit ). Zeige mit Hilfe des Tensorproduktes, dass die Zahl in jeder direkten Zerlegung von gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative -Algebra und eine Gruppe, die als Gruppe von -Algebraautomorphismen auf operiere. Ferner liege eine lineare Operation von auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum vor. Zeige, dass auf dem -Modul eine verträgliche Operation von als Gruppe von -Modulautomorphismen vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring . Es sei ein -Modul und der durch Ringwechsel gewonnene -Modul. Zeige, dass es eine verträgliche Operation von auf als Gruppe von -Modulautomorphismen gibt, und dass es eine natürliche Abbildung

gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass ein direkter Summand von ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Tensorprodukt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige, dass der -Modul flach ist.



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