Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige, dass die Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {R \times M} {M } {(r,m)} {rm } {,} $R$-\definitionsverweis {bilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } V }
{ \cong} {V \otimes_{ R } U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \otimes_{ R } W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \otimes_{ R } W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \oplus W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ R } W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die $R$-\definitionsverweis {Modulisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R^n \otimes_{ R } R^m }
{ \cong} { R^{nm} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Zu einem \definitionsverweis {multiplikativen System}{}{} $S \subseteq R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_S }
{ \cong }{R_S \otimes_{ R } M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{} $I \subseteq R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M/IM }
{ \cong }{ R/I \otimes_{ R } M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und
\mathl{R \subseteq S}{} sei ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{.} Zeige, dass für jeden $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ die natürliche Abbildung \maabbdisp {} {M} {S \otimes_{ R } M } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$ heißt \definitionswort {flach}{,} wenn die \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} mit $M$ die \definitionsverweis {Exaktheit}{}{} von beliebigen Sequenzen erhält.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass der $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R^n}{} \definitionsverweis {flach}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht \definitionsverweis {flachen}{}{} \definitionsverweis {Moduls}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $H$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H }
{ \cong} {\Z^r \times \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine direkte Zerlegung \zusatzklammer {mit \mathlk{n_j \in \N_+}{}} {} {.} Zeige mit Hilfe des \definitionsverweis {Tensorproduktes}{}{,} dass die Zahl $r$ in jeder direkten Zerlegung von $H$ gleich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die als Gruppe von $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{} auf $R$ \definitionsverweis {operiere}{}{.} Ferner liege eine \definitionsverweis {lineare Operation}{}{} von $G$ auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ vor. Zeige, dass auf dem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R \otimes_{ K } V}{} eine \definitionsverweis {verträgliche Operation}{}{} von $G$ als Gruppe von $R^G$-\definitionsverweis {Modulautomorphismen}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ als Gruppe von \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} \definitionsverweis {operiere}{}{} mit dem \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} $R^G$. Es sei $M$ ein $R^G$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und
\mathl{R \otimes_{ R^G } M}{} der \definitionsverweis {durch Ringwechsel gewonnene}{}{} $R$-Modul. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {verträgliche Operation}{}{} von $G$ auf
\mathl{R \otimes_{ R^G } M}{} als Gruppe von $R^G$-\definitionsverweis {Modulautomorphismen}{}{} gibt, und dass es eine natürliche Abbildung \maabbdisp {} {M} { { \left( R \otimes_{ R^G } M \right) }^G } {} gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass $R^G$ ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von $R$ ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {{ \left( \Z^3 \oplus { \left( \Z/(2) \right) } ^2 \oplus \Z/(3) \right) } \otimes_{ \Z } { \left( \Z^2 \oplus \Z/(2) \oplus \Z/(4) \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass der $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R_S}{} \definitionsverweis {flach}{}{} ist.

}
{} {}