Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass kein Körper sein muss.


Aufgabe

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch

ganz ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Bestimme zur Spektrumsabbildung

zum Ringhomomorphismus

die Fasern zu jedem Punkt . Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei algebraisch abgeschlossen?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sein Quotientenkörper. Bestimme die -wertigen Punkte von . Welcher Punkt entspricht der (zweifach genommenen) natürlichen Inklusion ?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative graduierte -Algebren, wobei und kommutative Gruppen seien. Zeige, dass in natürlicher Weise eine -Graduierung trägt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative -Algebren. Es seien und Gruppen, wobei die Gruppe auf und die Gruppe auf jeweils als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass dann eine natürliche Operation der Produktgruppe auf vorliegt.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einer kommutativen -Algebra als Gruppe von -Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass in natürlicher Weise auch auf den Tensorprodukten , , etc. operiert.

Man überlege sich auch, wo die vorstehende Konstruktion im Laufe der Vorlesung vorkam (ohne dass explizit das Tensorprodukt verwendet wurde).

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien kommutative -Algebren. Es sei eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Operationen mit den Strukturhomomorphismen verträglich seien.

  1. Zeige, dass in natürlicher Weise auf operiert.
  2. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

    gibt.

  3. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein Isomorphismus sein muss.


Zu einem Körper , zwei Mengen und Funktionen und schreiben wir für die Abbildung , .

Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion

in der Form
mit Funktionen

und schreiben kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion

in der Form
mit Funktionen

und schreiben kann.


Aufgabe

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion

in der Form
mit stetigen Funktionen

schreiben kann.


Aufgabe

Wo wird in Beispiel 17.8 die Endlichkeit der Gruppe verwendet?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring durch

durch

und durch

eine Hopf-Struktur erklärt wird.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die -Algebraisomorphie


Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass man die Funktion

nicht in der Form
mit stetigen Funktionen

schreiben kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf durch

durch

und durch

eine Hopf-Struktur erklärt wird.



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