Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 17
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die - Algebraisomorphie
Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die - Algebraisomorphie
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass kein Körper sein muss.
Es sei
ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch
ganz ist.
Es sei ein Körper und . Bestimme zur Spektrumsabbildung
die Fasern zu jedem Punkt . Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei algebraisch abgeschlossen?
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sein Quotientenkörper. Bestimme die - wertigen Punkte von . Welcher Punkt entspricht der (zweifach genommenen) natürlichen Inklusion ?
Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative graduierte - Algebren, wobei und kommutative Gruppen seien. Zeige, dass in natürlicher Weise eine -Graduierung trägt.
Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative - Algebren. Es seien und Gruppen, wobei die Gruppe auf und die Gruppe auf jeweils als Gruppe von - Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass dann eine natürliche Operation der Produktgruppe auf vorliegt.
Es sei eine Gruppe, die auf einer kommutativen - Algebra als Gruppe von - Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass in natürlicher Weise auch auf den Tensorprodukten , , etc. operiert.
Man überlege sich auch, wo die vorstehende Konstruktion im Laufe der Vorlesung vorkam (ohne dass explizit das Tensorprodukt verwendet wurde).
Es sei ein kommutativer Ring und seien kommutative - Algebren. Es sei eine Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Operationen mit den Strukturhomomorphismen verträglich seien.
- Zeige, dass in natürlicher Weise auf operiert.
- Zeige, dass es einen
Ringhomomorphismus
gibt.
- Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein Isomorphismus sein muss.
Zu einem Körper , zwei Mengen und Funktionen
und schreiben wir für die Abbildung
, .
Es sei ein Körper und seien und endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion
und schreiben kann.
Es sei ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion
und schreiben kann.
Wo wird in Beispiel 17.8 die Endlichkeit der Gruppe verwendet?
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring durch
durch
und durch
eine Hopf-Struktur erklärt wird.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die - Algebraisomorphie
Aufgabe (8 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf durch
durch
und durch
eine Hopf-Struktur erklärt wird.
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