Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 16
In dieser Vorlesung führen wir eine wichtige Konstruktion für Moduln ein, das sogenannte Tensorprodukt. Die Eigenschaften des konstruierten Objektes sind dabei wichtiger als die Konstruktion selbst.
- Das Tensorprodukt von Moduln
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Eine Abbildung
heißt -multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel (mit ) die induzierte Abbildung
- linear ist.
Bei spricht man von bilinear.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte freie - Modul. Es sei der von allen Elementen der Form
- ,
- ,
erzeugte - Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul das Tensorprodukt der , . Es wird mit
bezeichnet.
Die Bilder von in bezeichnet man wieder mit . Jedes Element aus besitzt eine
(nicht eindeutige) Darstellung als(mit und ). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ein - Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
für beliebige .
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln.
- Die
Abbildung
ist - multilinear.
- Es sei ein weiterer
-
Modul und
eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte - lineare Abbildung
mit .
(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ein - Modulerzeugendensystem von sind und
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole bilden eine Basis von , daher legt die Vorschrift eine lineare Abbildung
fest. Wegen der Multilinearität von wird der Untermodul auf abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen - Modulhomomorphismus
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf
(eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen -Modul zusammen mit einer multilinearen Abbildung
derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen -Modul eindeutig über mit einer linearer Abbildung von nach faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen und dem Tensorprodukt . Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Beweis
Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem - Modulhomomorphismus gibt es einen natürlichen - Modulhomomorphismus .
- Zu einer
exakten Sequenz
von - Moduln ist auch
exakt.
(1). Die Abbildung
ist - bilinear und induziert daher einen - Modulhomomorphismus
(2). Die Surjektivität der Abbildung
ist klar, da die ein - Modulerzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
eine - multilineare Abbildung in einen -Modul . Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
und damit eine -lineare Abbildung
vor. Wegen
ist
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
- Ringwechsel
Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über ein -Modul und eine kommutative -Algebra vorliegt.
Zu einem - Modul und einem Ringhomomorphismus
Es sei ein reeller Vektorraum. Die Tensorierung mit der - Algebra , also
nennt man die Komplexifizierung von . Wenn die Dimension besitzt, so besitzt als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension . Wenn man als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die reelle Dimension .
Es sei ein kommutativer Ring, ein - Modul und ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Tensorprodukt ist ein -Modul.
- Es gibt einen kanonischen
-
Modulhomomorphismus
Bei ist dies ein Isomorphismus.
- Zu einem
-
Modulhomomorphismus
ist die induzierte Abbildung
ein -Modulhomomorphismus.
- Zu
ist
- Zu einem weiteren Ringhomomorphismus
ist
(eine Isomorphie von -Moduln).
(1). Die Multiplikation
ist - bilinear und führt nach Lemma 16.3 zu einer - linearen Abbildung
Dies induziert nach Proposition 16.4 (2) und nach Proposition 16.5 einen - Modulhomomorphismus
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
die explizit durch[1]
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die -Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
induziert eine
-
lineare Abbildung
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
mit dieser Abbildung ist die Identität auf , sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus
Proposition 16.4 (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine -lineare Abbildung
.
Dies führt zu einer -multilinearen Abbildung
induziert. Andererseits haben wir eine -lineare Abbildung
Rechts steht ein -Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine -multilineare Abbildung
auffassen, die ihrerseits zu einer -linearen Abbildung
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die -Multiplikationen entsprechen.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem multiplikativen System ist .
- Zu einem Ideal ist .
Beweis
Zu einem Integritätsbereich mit Quotientenkörper und einem - Modul erhält man im Tensorprodukt einen Modul über dem Quotientenkörper , also einen Vektorraum. Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine Dimension nennt man auch den Rang des Moduls.
Zu jeder kommutativen Gruppe und jedem kommutativen Ring enthält man im Tensorprodukt einen - Modul. Wenn endlich erzeugt und die Zerlegung (vergleiche den Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen)
vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus und den
wobei deren Gestalt von der Charakteristik des Ringes abhängt.
Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei der Invariantenring. Dann gehört zu jedem -Modul das Tensorprodukt . Auf diesem -Modul operiert die Gruppe in natürlicher und mit der Operation auf verträglichen Weise, siehe Aufgabe 16.10.
- Fußnoten
- ↑ Wenn man die Skalarmultiplikation direkt über diese Formel definieren möchte hat man das Problem der Wohldefiniertheit.
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