Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 19/latex

\setcounter{section}{19}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \Z^n}{} ein \definitionsverweis {normales}{}{,} \definitionsverweis {spitzes}{}{,} \definitionsverweis {endlich erzeugtes}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Monoidring}{}{}
\mathl{K[M]}{} eine \definitionsverweis {positive Graduierung}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hilbert-Reihe}{}{} von
\mathl{K[X,Y]/(X^3,Y^5,X^2Y^2)}{} in der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Zeige, dass zwischen den \definitionsverweis {Hilbert-Reihen}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(A \otimes_{ K } B ) }
{ =} { H(A) \cdot H(B) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei
\mathl{A \otimes_{ K } B}{} mit der natürlichen $\N$-Graduierung \zusatzklammer {wie sieht die aus?} {} {} versehen sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{,} \definitionsverweis {kommutative}{}{,} \definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mathl{\ell \in \N}{.} Welche Beziehung besteht zwischen der \definitionsverweis {Hilbert-Reihe}{}{} von $R$ und der Hilbert-Reihe des $\ell$-ten \definitionsverweis {Veronese-Ringes}{}{} $R^{(\ell)}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Definition 19.5 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { \operatorname{ End}_{ } ^{ } { \left( V \right) } } {K } {\varphi} { \operatorname{Spur} { \left( \varphi \right) } } {,} $K$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die $\operatorname{Spur} { \left( M \right) }$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$ mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) } }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ X^n-c }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Element in der \definitionsverweis {einfachen}{}{} \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ = }{ K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $f$ \zusatzklammer {aufgefasst als Endomorphismus auf $L$} {} {} gleich $na_0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jede endliche \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(n)}{} in
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} sowohl als \definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{} als auch als eine Gruppe ohne \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} realisieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} $A_n$ in ihrer natürlichen Realisierung in
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} keine \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\mathl{\psi \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine \definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Konjugation}{}{} von $\psi$ ebenfalls eine Pseudoreflektion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} und
\mathl{H \subseteq G}{} die von allen \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} in $G$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $H$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{,} \definitionsverweis {kommutative}{}{,} \definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hilbert-Reihe}{}{} von $R$ genau dann ein Polynom ist, wenn die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} von $R$ null ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe mit dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, dass der Ring der \definitionsverweis {symmetrischen Polynome}{}{} ein Polynomring ist.

}
{} {}