Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten (additiven) -Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen -Algebra die induzierte Gruppenstruktur auf mit der Addition auf übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation auf der kommutativen -Algebra . Wir betrachten die beiden -Algebrahomomorphismen

(die Kooperation) und

Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist.


Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den Invariantenring der Kooperation.

Aufgabe

Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere, und sei

eine Abbildung in eine weitere Menge . Zeige, dass genau dann -invariant ist, wenn das Diagramm

kommutiert.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra, auf der eine endliche Gruppe als Gruppe von -Algebraautomorphismen operiere.

  1. Definiere eine Kooperation der Hopf-Algebra auf derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.
  2. Zeige, dass der Invariantenring mit dem Invariantenring zur Kooperation übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei eine kommutative -Algebra.

  1. Es liege eine -Graduierung von (als -Algebra) vor. Zeige, dass durch

    eine -Kooperation der Hopf-Algebra auf festgelegt wird.

  2. Es liege eine -Kooperation
    von auf vor. Zeige, dass durch

    eine -Graduierung auf festgelegt wird.

  3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei . Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf derart, dass zu jeder kommutativen -Algebra ein natürlicher Gruppenisomorphismus

besteht.


Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, und

Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf (über ).


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, . Wir setzen

versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und

Definiere eine Kooperation von auf (über ).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten (multiplikativen) -Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen -Algebra die induzierte Gruppenstruktur auf mit der Multiplikation übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und der zugehörige Gruppenring. Bestimme zu einer kommutativen -Algebra die Gruppe .



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