Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H=K[X]$ sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten (additiven) ${}K$- Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ die induzierte Gruppenstruktur auf ${}L\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)$ mit der Addition auf ${}L$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation auf der kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$. Wir betrachten die beiden ${}K$- Algebrahomomorphismen

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

(die Kooperation) und

$\iota _{2}\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,\,r\longmapsto 1\otimes r.$

Zeige, dass die Menge

${\left\{r\in R\mid N(r)=\iota _{2}(r)\right\}}$

ein Unterring von ${}R$ ist.

Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den Invariantenring der Kooperation.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere, und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung in eine weitere Menge ${}Y$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- invariant ist, wenn das Diagramm

$G\times X{\stackrel {\nu ,p_{2}}{\longrightarrow }}X\longrightarrow Y$

kommutiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere.

1. Definiere eine Kooperation der Hopf-Algebra ${}H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ auf ${}R$ derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.
2. Zeige, dass der Invariantenring ${}R^{G}$ mit dem Invariantenring zur Kooperation übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra.

1. Es liege eine ${}D$- Graduierung von ${}A$ (als ${}K$-Algebra) vor. Zeige, dass durch

   $A\longrightarrow K[D]\otimes _{K}A,\,a_{d}\longmapsto T^{d}\otimes a_{d},$

   eine ${}K$- Kooperation der Hopf-Algebra ${}K[D]$ auf ${}A$ festgelegt wird.

2. Es liege eine ${}K$-Kooperation

   $N\colon A\longrightarrow K[D]\otimes _{K}A$

   von ${}K[D]$ auf ${}A$ vor. Zeige, dass durch

   ${}A_{d}:={\left\{a\in A\mid T^{d}\otimes a=N(a)\right\}}\,$

   eine ${}D$-Graduierung auf ${}A$ festgelegt wird.

3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf ${}A$ derart, dass zu jeder kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ ein natürlicher Gruppenisomorphismus

${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\right)}(L)\cong (L^{n},+)\,$

besteht.

Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ und

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,.$

Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf ${}A$ (über ${}R$).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f\in R$. Wir setzen

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,,$

versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und

${}B=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,.$

Definiere eine Kooperation von ${}A$ auf ${}B$ (über ${}R$).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten (multiplikativen) ${}K$- Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ die induzierte Gruppenstruktur auf ${}L^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)$ mit der Multiplikation übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring. Bestimme zu einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}L$ die Gruppe ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}\right)}(L)$.