Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und  $H=K[X]$  sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten (additiven) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die induzierte Gruppenstruktur auf

$L\cong (\mathrm{Spek}\left(H\right))(L)$

mit der Addition auf $L$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation von $H$ auf der kommutativen $K$-Algebra $R$. Wir betrachten die beiden $K$-Algebrahomomorphismen

$N:R⟶H{\otimes }_{K}R$

(die Kooperation) und

${\iota }_2:R⟶H{\otimes }_{K}R,r⟼1\otimes r.$

Zeige, dass die Menge

$S=\{r\in R\mid N(r)={\iota }_2(r)\}$

eine $K$-Unteralgebra von $R$ ist.

Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den Invariantenring der Kooperation.

Aufgabe *

Es sei $X$ eine Menge, auf der eine Gruppe $G$ operiere, und sei

$\phi :X⟶Y$

eine Abbildung in eine weitere Menge $Y$. Zeige, dass $\phi$ genau dann $G$-invariant ist, wenn das Diagramm

$\begin{array}{cccc}G\times X& \stackrel{\nu }{⟶}& X& \\ p_2\downarrow & & \downarrow \phi & \\ X& \stackrel{\phi }{⟶}& Y& \end{array}$

kommutiert, wobei $\nu$ die Gruppenoperation und $p_2$ die zweite Projektion bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $R$ eine kommutative $K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe $G$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere.

a) Definiere eine Kooperation der Hopf-Algebra  $H=\mathrm{Abb}(G,K)$  auf $R$ derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.

b) Zeige, dass der Invariantenring $R^G$ mit dem Invariantenring zur Kooperation übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $K[D]$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei $A$ eine kommutative $K$-Algebra.

1. Es liege eine $D$-Graduierung von $A$ (als $K$-Algebra) vor. Zeige, dass durch

   $A⟶K[D]{\otimes }_{K}A,a_d⟼T^d\otimes a_d,$

   eine $K$-Kooperation der Hopf-Algebra $K[D]$ auf $A$ festgelegt wird.

2. Es liege eine $K$-Kooperation

   $N:A⟶K[D]{\otimes }_{K}A$

   von $K[D]$ auf $A$ vor. Zeige, dass durch

   $A_d:=\{a\in A\mid T^d\otimes a=N(a)\}$

   eine $D$-Graduierung auf $A$ festgelegt wird.

3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei  $A=K[X_1,\dots ,X_n]$.  Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf $A$ derart, dass zu jeder kommutativen $K$-Algebra $L$ ein natürlicher Gruppenisomorphismus

$(\mathrm{Spek}(K[X_1,\dots ,X_n]))(L)\cong (L^n,+)$

besteht.

Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $f_1,\dots ,f_n\in R$  und

$A=R[T_1,\dots ,T_n]/(f_1{T}_1+\cdots +f_n{T}_n).$

Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf $A$ (über $R$).

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $f_1,\dots ,f_n,f\in R$.  Wir setzen

$A=R[T_1,\dots ,T_n]/(f_1{T}_1+\cdots +f_n{T}_n),$

versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und

$B=R[T_1,\dots ,T_n]/(f_1{T}_1+\cdots +f_n{T}_n+f).$

Definiere eine Kooperation von $A$ auf $B$ (über $R$).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und  $H=K[X,X^{-1}]=K[X{]}_X$  sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten (multiplikativen) $K$-Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die induzierte Gruppenstruktur auf  $L^{\times }\cong (\mathrm{Spek}\left(H\right))(L)$  mit der Multiplikation übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $K[D]$ der zugehörige Gruppenring. Bestimme zu einer kommutativen $K$-Algebra $L$ die Gruppe $(\mathrm{Spek}(K[D]))(L)$.