Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein normales, spitzes, endlich erzeugtes Monoid und ein Körper. Zeige, dass der Monoidring eine positive Graduierung besitzt.


Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Reihe von in der Standardgraduierung.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und endlich erzeugte positiv-graduierte -Algebren. Zeige, dass zwischen den Hilbert-Reihen die Beziehung

besteht, wobei mit der natürlichen -Graduierung (wie sieht die aus?) versehen sei.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte -Algebra und . Welche Beziehung besteht zwischen der Hilbert-Reihe von und der Hilbert-Reihe des -ten Veronese-Ringes .


Aufgabe

Zeige, dass die Definition 19.5 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass die Zuordung

-linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von  (aufgefasst als Endomorphismus auf ) gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche zyklische Gruppe in sowohl als Reflektionsgruppe als auch als eine Gruppe ohne Pseudoreflektionen realisieren kann.


Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe in ihrer natürlichen Realisierung in keine Pseudoreflektionen enthält.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei eine Pseudoreflektion. Zeige, dass jede Konjugation von ebenfalls eine Pseudoreflektion ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Untergruppe und die von allen Pseudoreflektionen in erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ein Normalteiler in ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte -Algebra. Zeige, dass die Hilbert-Reihe von genau dann ein Polynom ist, wenn die Krulldimension von null ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe mit dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, dass der Ring der symmetrischen Polynome ein Polynomring ist.



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