Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Überprüfe Korollar 20.3 für die symmetrische Gruppe.


Aufgabe

Zeige, dass die spezielle lineare Gruppe keine Pseudoreflektionen enthält.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Pseudoreflektion und die von erzeugte zyklische Gruppe. Zeige direkt, dass der Invariantenring ein Polynomring ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Reflektionsgruppe und eine nichttrivale Untergruppe , die keine Pseudoreflektion enthält.


Aufgabe

Wir betrachten die symmetrische Gruppe mit ihrer natürlichen Einbettung über einem Körper . Zeige, dass genau dann eine Transposition ist, wenn eine Pseudoreflektion ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Polynomring ein freier Modul über dem Polynomring der elementarsymmetrischen Polynome ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :

  1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist null.
  2. Die Ableitung ist -linear.
  3. Es gilt die Produktregel, also


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


Aufgabe

Sei ein Körper der Charakteristik . Man charakterisiere die Polynome mit der Eigenschaft, dass

  1. die erste partielle Ableitung,
  2. die zweite partielle Ableitung,
  3. beide partiellen Ableitungen

sind.


Aufgabe

Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Polynome. Wir setzen

Zeige, dass die formalen partiellen Ableitungen die „formale Kettenregel“

erfüllen, wobei der Ausdruck bedeutet, dass die Variablen durch die Polynome zu ersetzen sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring mit der Standardgraduierung. Es seien homogene Polynome mit

Zeige , wobei der Grad der , , maximal gleich dem Grad von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zyklische Reflektionsgruppe derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine Pseudoreflektionen sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Wie viele Pseudoreflektionen enthält die allgemeine lineare Gruppe über dem Körper mit drei Elementen.


Die folgende Aussabe kann man bei mit dem Satz von Chevalley (der besagt, dass Bilder „konstruierbarer Mengen“ wieder konstruierbar sind) und der Transformationsformel für Volumina beweisen. Gibt es auch einen elementaren algebraischen Beweis?

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik und seien algebraisch unabhängige Polynome. Zeige



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