Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Überprüfe Korollar 20.4 für die symmetrische Gruppe.

Aufgabe

Zeige, dass die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ keine Pseudoreflektionen enthält.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}\sigma \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine Pseudoreflektion und ${}G$ die von ${}\sigma$ erzeugte zyklische Gruppe. Zeige direkt, dass der Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ ein Polynomring ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Reflektionsgruppe ${}G$ und eine nichttrivale Untergruppe  ${}H\subseteq G$,  die keine Pseudoreflektion enthält.

Aufgabe

Wir betrachten die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ mit ihrer natürlichen Einbettung  ${}S_{n}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  über einem Körper ${}K$. Zeige, dass  ${}\sigma \in S_{n}$  genau dann eine Transposition ist, wenn ${}\sigma$ eine Pseudoreflektion ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein freier Modul über dem Polynomring ${}K[E_{1},\ldots ,E_{n}]$ der elementarsymmetrischen Polynome ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$- linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}p\geq 0$.  Man charakterisiere die Polynome  ${}F\in K[X,Y]$  mit der Eigenschaft, dass

1. die erste partielle Ableitung,
2. die zweite partielle Ableitung,
3. beide partiellen Ableitungen

${}0$ sind.

Aufgabe *

Es sei  ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  und  ${}G_{1},\ldots ,G_{k}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$  Polynome. Wir setzen

${}H_{i}=G_{i}(F_{1},\ldots ,F_{m})\,.$

Zeige, dass die formalen partiellen Ableitungen die „formale Kettenregel“

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial H_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{1}}{\partial Y_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial G_{k}}{\partial Y_{m}}}\end{pmatrix}}{\left({\frac {F_{j}}{Y_{j}}}\right)}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

erfüllen, wobei der Ausdruck ${}{\frac {F_{j}}{Y_{j}}}$ bedeutet, dass die Variablen ${}Y_{j}$ durch die Polynome ${}F_{j}$ zu ersetzen sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring mit der Standardgraduierung. Es seien  ${}Q,P_{1},\ldots ,P_{m}\in R$  homogene Polynome mit

${}Q\in K[P_{1},\ldots ,P_{m}]\,.$

Zeige  ${}Q\in K[P_{j},\,j\in J]$,  wobei der Grad der ${}P_{j}$, ${}j\in J$, maximal gleich dem Grad von ${}Q$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichttriviale zyklische Reflektionsgruppe derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine Pseudoreflektionen sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Wie viele Pseudoreflektionen enthält die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {F} }_{3}\right)}$ über dem Körper ${}{\mathbb {F} }_{3}$ mit drei Elementen.

Die folgende Aussabe kann man bei  ${}K={\mathbb {C} }$  mit dem Satz von Chevalley (der besagt, dass Bilder „konstruierbarer Mengen“ wieder konstruierbar sind) und der Transformationsformel für Volumina beweisen. Gibt es auch einen elementaren algebraischen Beweis?

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und seien  ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 

algebraisch unabhängige Polynome. Zeige

${}\det \left({\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{ij}\right)\neq 0\,.$