Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $M$ eine Menge. Es sei
\mathl{\operatorname{Perm} \,( M)}{} die
\definitionsverweis {Gruppe der Permutationen}{}{}
auf $M$. Zeige folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn $G$ auf $M$
\definitionsverweis {operiert}{}{,}
so ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { (x \mapsto gx)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
} {Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {\varphi} {G} {\operatorname{Perm} \,( M)
} {g} { \varphi(x)
} {,}
vorliegt, so wird durch
\maabbeledisp {} {G\times M} {M
} {(g,x)} { (\varphi(g))(x)
} {,}
eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $G$-\definitionsverweis {Äquivalenz}{}{} bei einer \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Operation}{}{} der Kongruenzen die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{} zu jedem Dreieck
\mathl{\triangle =(P_1,P_2,P_3) \in \R^6}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der $n$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${\mathbb C}$. Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
und die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
dieser Operation. Kann man die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
durch eine polynomiale Funktion realisieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{G= \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{} mit ihrer natürlichen Operation auf $V \setminus \{0\}$. Zeige, dass diese Gruppenoperation
\definitionsverweis {transitiv}{}{} ist. Wie sieht es aus, wenn man
\mathl{\operatorname{SL}_{ } { \left( V \right) }}{} betrachtet?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{G= \operatorname{GL}_{ } { \left( V \right) }}{} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
zusammen mit ihrer natürlichen Operation auf der Menge
\mathdisp {M={ \left\{ (v_1 , \ldots , v_n) \in V^n \mid \text{Basis} \right\} }} { . }
Zeige, dass diese Operation
\definitionsverweis {transitiv}{}{}
ist. Wie sieht es auf ganz $V^n$ aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Isotropiegruppe}{}{} bei einer \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere Links- und Rechtsoperationen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {C(X, \R)
}
{ =} {{ \left\{ f:X \longrightarrow \R \mid f \text{ stetige Abbildung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist. Man gebe auch ein Beispiel an, das zeigt, dass $R$ im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {nullteilerfrei}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } {f} { f\circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
Gemäß Aufgabe 2.1 ergibt eine Gruppenoperation für jedes
\mathl{g \in G}{} eine Bijektion
\mathl{x \mapsto gx}{} auf $M$. Wenn $M$ zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ operiere, wobei zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathl{x \mapsto gx}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{} sei. Zeige, dass dadurch eine Operation
\zusatzklammer {von rechts} {} {} von $G$ auf dem Ring der stetigen Funktionen
\mathl{C(X, \R)}{} als Gruppe von Ringautomorphismen gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die geordneten Dreiecke
\mathl{\triangle = \left( P_1 , \, P_2 , \, P_3 \right)}{} als Punkte im $\R^6$. Definiere eine Gruppenoperation der $S_3$ auf dem $\R^6$ derart, dass die Bahnen den ungeordneten Dreiecken
\zusatzklammer {also den Dreiecken ohne Nummerierung} {} {} entsprechen. Bestimme die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
zu jedem Dreieck.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei
\definitionsverweis {Permutationen}{}{}
\mathl{\sigma, \tau \in S_n}{} genau dann
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind, wenn ihre
\definitionsverweis {Zykeldarstellung}{}{}
den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zur
\definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{}
$S_n$ die
\definitionsverweis {Operation durch Konjugation}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
und die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
für
\mathl{n \leq 5}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Menge der
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\mathl{n\times n}{-}Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander
\definitionsverweis {konjugierte}{}{}
Matrizen
\mathkor {} {M} {und} {N} {} aus
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die Dimension der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zu einem Eigenwert, die
\definitionsverweis {Diagonalisierbarkeit}{}{,}
die
\definitionsverweis {Trigonalisierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die geordneten Dreiecke
\mathl{\triangle = \left( P_1 , \, P_2 , \, P_3 \right)}{} als Punkte im $\R^6$. Betrachte die
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
der $S_3$ auf dem $\R^6$ durch Umnummerierung der Eckpunkte. Man gebe sechs reelle Polynome
\mathl{{ \left( F_1 , \ldots , F_6 \right) }}{} an derart, dass die Fasern der dadurch definierten Gesamtabbildung
\maabbdisp {F} {\R^6} {\R^6
} {}
genau die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
der Operation sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{} auf der Menge der
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
durch
\maabbeledisp {} {\R \times {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {(t,z)} { e^{ 2 \pi { \mathrm i} t} z
} {,}
\definitionsverweis {operiert}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{,}
die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
und die
\definitionsverweis {Quotientenabbildung}{}{}
dieser Operation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt eine stetige Funktion
\maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mathl{f(z) = g ( \betrag { z })}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{}
\zusatzklammer {alle \mathlk{n \in \N}{}} {} {}
ist
\mathl{f (\zeta z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Für alle
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} mit
\mathl{\betrag { w } =1}{} ist
\mathl{f (w z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge der quadratischen Polynome
\mathdisp {M= { \left\{ aX^2+bX+c \mid a,b,c \in K,\, a \neq 0 \right\} }} { }
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, und es sei $G$ die Menge der Transformationen vom Typ
\mathl{X \mapsto \alpha X + \beta}{} mit
\mathl{\alpha \neq 0}{.}
a) Zeige, dass $G$ auf $M$ in natürlicher Weise operiert.
b) Zeige, dass $G$ auf $K$ durch Multiplikation mit $\alpha^2$ operiert.
c) Zeige, dass die
\betonung{Diskriminante}{,} also der Ausdruck
\mathl{b^2-4ac}{,} der einem quadratischen Polynom zugeordnet ist,
$G$-\definitionsverweis {verträglich}{}{} bezüglich dieser beiden Operationen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} der \zusatzklammer {eigentlichen} {} {} \definitionsverweis {Würfelgruppe}{}{.}
}
{} {}
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