Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 3

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, dass die reguläre Darstellung in der Tat ein Gruppenhomomorphismus ist. Wie sieht es aus, wenn man die reguläre Darstellung mit der Rechtsmultiplikation statt mit der Linksmultiplikation definiert?


Aufgabe

Zeige, dass jede endliche Gruppe eine treue Darstellung innerhalb der speziellen linearen Gruppe besitzt.


Aufgabe

Finde treue Darstellungen für .


Aufgabe

Finde treue Darstellungen für .


Aufgabe

Es sei ein Körper und wine zyklische Untergruppe, die von erzeugt werde. Zeige, dass ein Untervektorraum genau dann -invariant ist, wenn er -invariant ist.


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Bestimme die Anzahl der Elemente in


Aufgabe

Berechne die Ordnung der Matrix

über dem Körper .


Aufgabe

Sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. ist eine kommutative Gruppe.
  2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ist .


Aufgabe *

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein Körper.

a) Zeige, dass durch

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von in das Doppeldual gegeben ist.

b) Es sei nun endlich und es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung heißt Evaluierungsabbildung (zu ).

Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und es sei ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

die einer Untergruppe von eine Untergruppe von zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

ist .

c) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

und

(zwischen den Untergruppen von und den Untergruppen von ) zueinander invers sind.


Aufgabe

Sei eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe in einen Körper . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Untergruppe mit , die von zwei Elementen erzeugt wird, die beide als Endomorphismen diagonalisierbar sind, derart, dass die einzigen -invarianten Untervektorräume und sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die natürliche Operation der Permutationsgruppe auf .

a) Bestimme den Fixraum der Operation.

b) Finde ein -invariantes Komplement, also einen -invarianten Unterraum mit .


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Untergruppe

die durch die drei Matrizen

erzeugt wird. Liste die Elemente dieser Gruppe auf und bestimme sämtliche Untergruppen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  2. Zu jedem Primpotenzteiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  3. Zu jedem Teiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  4. Zu jeder Ordnung eines Elementes besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Es sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

gleich ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass surjektiv ist.



<< | Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)