Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge der \definitionsverweis {stetigen Wege}{}{} von $x$ nach $y$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} {[0,1] } {X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$ \definitionsverweis {homotop}{}{} zu $\gamma$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger Weg}{}{} von \mathkor {} {x} {nach} {y} {} und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t) }
{ \defeq }{ \gamma(1-t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{} \definitionsverweis {homotop}{}{} zum konstanten Weg $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mathl{x \in X}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} von \definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{} mit Aufpunkt $x$ \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} und
\mathl{x \in X}{} mit
\mathl{\varphi(x)= y}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der \definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{} \zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} zwischen \definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y) } {} führt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei
\mathl{n \geq 3}{} der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {} {\Z} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } { {\mathbb C}^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {} die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zwischen den Spektra der \definitionsverweis {Monoidringe}{}{.} Wie sieht die zugehörige Abbildung der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } {t} { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C} } { {\mathbb C}^{\times} = {\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{} des \definitionsverweis {reell-projektiven Raumes}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{\R}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R={\mathbb C}[T_1 , \ldots , T_n]/ {\mathfrak a}}{} eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X }
{ = }{ {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} von $R$. Es sei $S= { \left\{ z \in X \mid \Vert {z} \Vert = 1 \right\} }$ die \anfuehrung{Sphäre}{} von $X$ \zusatzklammer {bezüglich der gegebenen Einbettung} {} {.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Homotopieäquivalenz}{}{} zwischen \mathkor {} {X \setminus \{0\}} {und} {S} {} gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von $R$ gleich der Fundamentalgruppe von $S$ ist.

}
{} {}