Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 27

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

$\gamma ,\delta \colon [0,1]\longrightarrow X$

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges ${}\gamma$ mit Aufpunkt ${}x$ mit dem konstanten Weg ${}x$ homotop zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg von ${}x$ nach ${}y$ und sei ${}\gamma ^{-1}$ der umgekehrt durchlaufene Weg, also ${}\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ homotop zum konstanten Weg ${}x$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt ${}x$ assoziativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$\gamma \colon S^{1}\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von ${}\gamma$ auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt ${}x$ bzw. ${}y$) induziert.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

zu einem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y)$

führt.

Aufgabe

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ der ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Gruppenhomomorphismus und

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Spektrumsabbildung zwischen den Spektra der Monoidringe. Wie sieht die zugehörige Abbildung der Fundamentalgruppen aus?

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

eine Überlagerung ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Fundamentalgruppe des reell-projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R={\mathbb {C} }[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte positiv-graduierte ${}{\mathbb {C} }$- Algebra und ${}X={\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ das ${}{\mathbb {C} }$- Spektrum von ${}R$. Es sei ${}S={\left\{z\in X\mid \Vert {z}\Vert =1\right\}}$ die „Sphäre“ von ${}X$ (bezüglich der gegebenen Einbettung). Zeige, dass es eine Homotopieäquivalenz zwischen ${}X\setminus \{0\}$ und ${}S$ gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von ${}R$ gleich der Fundamentalgruppe von ${}S$ ist.