Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 27

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von nach ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

durch Hintereinanderausführung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotop zu ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und . Es sei

ein stetiger Weg von nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also . Zeige, dass die Verknüpfung homotop zum konstanten Weg ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt assoziativ ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.


Aufgabe

Zeige, dass der kontrahierbar ist.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt bzw. ) induziert.


Aufgabe

Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung

zu einem Gruppenhomomorphismus

führt.


Aufgabe

Zeige, dass bei der einfach zusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus und

die zugehörige Spektrumsabbildung zwischen den Spektra der Monoidringe. Wie sieht die zugehörige Abbildung der Fundamentalgruppen aus?


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

eine Überlagerung ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Fundamentalgruppe des reell-projektiven Raumes .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endlich erzeugte positiv-graduierte -Algebra und das -Spektrum von . Es sei die „Sphäre“ von (bezüglich der gegebenen Einbettung). Zeige, dass es eine Homotopie zwischen und gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von gleich der Fundamentalgruppe von ist.



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