Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 26

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Bestimme für die binäre Tetraedergruppe die Dimension von für .


Aufgabe

Bestimme für die binäre Oktaedergruppe die Dimension von für .


Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Zeige, dass es auf den - und den -Singularitäten und auf der und der -Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.


Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel 26.4 angegebenen Polynome in der Tat invariant sind, und dass die dort angegebene Relation besteht.


Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.


Wir erinnern an folgende Definition.


Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.


Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe nennt man auch die Abelianisierung von .

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es auf der -Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.



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