Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Zeige, dass der Ring $K[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Y{Z}^3)$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2,3$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Bestimme für die binäre Tetraedergruppe die Dimension von $ℂ[U,V{]}_d^{BT}$ für  $d\le 12$. 

Aufgabe

Bestimme für die binäre Oktaedergruppe die Dimension von $ℂ[U,V{]}_d^{BO}$ für  $d\le 24$. 

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  $V(X^2+Y^3+Z^5)\subseteq {𝔸}_K^3$  über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2,3,5$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf den $A$- und den $D$-Singularitäten und auf der $E_6$- und der $E_7$-Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.

Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel 26.4 angegebenen Polynome $\tilde{A},\tilde{B},\tilde{C}$ in der Tat invariant sind, und dass die dort angegebene Relation besteht.

Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

$ℂ[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Z^5)⟶ℂ[R,S,T]/(RS-T^2)$

gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.

Wir erinnern an folgende Definition.

Zu einer Gruppe $G$ heißt die von allen Kommutatoren $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von $G$. Sie wird mit $K(G)$ bezeichnet.

Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe $G/K(G)$ nennt man auch die Abelianisierung von $G$.

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen  $G\subseteq {\mathrm{SU}}_2\left(ℂ\right)$  jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es auf der $E_8$-Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.