Kurs:Körper- und Galoistheorie/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	4	0	2	3	2	0	0	1	0	9	0	0	0	0	3	6	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler  ${}H\subseteq G$  in einer Gruppe ${}G$.
3. Eine primitive Einheit in ${}\left(\mathbb {Z} /(n)\right)^{\times }$.
4. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
5. Eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ eines Körpers ${}K$, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel enthält.
6. Das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
2. Der Satz über die algebraische Struktur von ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.
3. Der Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{5}+10x^{4}+x-5=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{5}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit  ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$  um.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(2)\subseteq \mathbb {Z} /(2)[X]/\left(X^{2}+X+1\right)\,$

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis ${}1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element  ${}f\in L$  in einer Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  irreduzibel ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-graduierte Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,$

und den durch  ${}\chi (e_{1})=-1$,   ${}\chi (e_{2})=1$,   ${}\chi (e_{3})=-1$,  gegebenen Charakter. Bestimme

$\varphi _{\chi }\left(4+5{\sqrt {3}}-3{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+7{\sqrt {15}}-2{\sqrt {21}}+13{\sqrt {35}}-4{\sqrt {105}}\right).$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}\zeta _{11}$ die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie ${}\zeta _{11}^{i}$, ${}i=1,\ldots ,100$, die ${}1$ durchlaufen?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 Punkte)

Bestimme die Zwischenkörper des ${}7$-ten Kreisteilungskörpers ${}K_{7}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal.

Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei  ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$  und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Drehung um den Drehpunkt ${}P$ um den Winkel ${}\beta$, ${}0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ${}P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel ${}\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.