Kurs:Körper- und Galoistheorie/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 4 4 0 2 3 2 0 0 1 0 9 0 0 0 0 3 6 40



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe .
  2. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  3. Eine primitive Einheit in .
  4. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
  5. Eine Kummererweiterung zum Exponenten eines Körpers , der eine primitive -te Einheitswurzel enthält.
  6. Das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
  2. Der Satz über die algebraische Struktur von über einem Körper .
  3. Der Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element in einer Körpererweiterung irreduzibel ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die -graduierte Körpererweiterung

und den durch , , , gegebenen Charakter. Bestimme


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie , , die durchlaufen?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (9 Punkte)

Bestimme die Zwischenkörper des -ten Kreisteilungskörpers . Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal.


Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei und

eine Drehung um den Drehpunkt um den Winkel , , mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.