Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 0 1 3 0 3 0 0 0 6 0 0 0 3 0 4 30



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
  2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  3. Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring mit positiver Charakteristik.
  4. Eine (endliche) Galoiserweiterung .
  5. Ein Charakter eines Monoids in einem Körper .
  6. Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  2. Der Satz vom primitiven Element.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper . Zeige, dass die Elemente

die Nullstellen des Polynoms sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper mit nicht graduierbar ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gerade gegeben, auf der zwei Punkte als und ausgezeichnet seien, so dass man diese Gerade mit den reellen Zahlen identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen und auf gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, so dass das Produkt wieder auf liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.