Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	0	1	3	0	3	0	0	0	6	0	0	0	3	0	4	30

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Linksnebenklasse von ${}x$ in einer Gruppe ${}G$ bezüglich einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
3. Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring ${}R$ mit positiver Charakteristik.
4. Eine (endliche) Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Ein Charakter eines Monoids ${}M$ in einem Körper ${}K$.
6. Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Der Satz vom primitiven Element.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

${}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${}P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${}{\frac {\pi }{2}}$?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper ${}L$. Zeige, dass die Elemente

$\zeta +\zeta ^{8},\,\,\zeta ^{2}+\zeta ^{7}\,{\text{ und }}\,\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$

die Nullstellen des Polynoms ${}X^{3}-3X+1$ sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]$ mit ${}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ nicht graduierbar ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gerade ${}G$ gegeben, auf der zwei Punkte als ${}0$ und ${}1$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen ${}a$ und ${}b$ auf ${}G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf ${}G$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.