Kurs:Körper- und Galoistheorie/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	4	0	1	3	0	3	0	0	0	6	0	0	0	3	0	4	30

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Linksnebenklasse von $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H\subseteq G$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen $(G,\circ ,e_G)$ und $(H,\circ ,e_H)$.
3. Der Frobeniushomomorphismus auf einem kommutativen Ring $R$ mit positiver Charakteristik.
4. Eine (endliche) Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
5. Ein Charakter eines Monoids $M$ in einem Körper $K$.
6. Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung  $K\subseteq L$. 

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes $g\in G$ in einer endlichen Gruppe $G$.
2. Der Satz vom primitiven Element.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei

$P=\frac{1}{24}{X}^4-\frac{1}{2}{X}^2+1.$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und $\frac{\pi }{2}$?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass $L$ ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper $L$. Zeige, dass die Elemente

$\zeta +{\zeta }^8,{\zeta }^2+{\zeta }^7\text{ und }{\zeta }^4+{\zeta }^5$

die Nullstellen des Polynoms $X^3-3X+1$ sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper  $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[{\zeta }_5]$  mit  ${\zeta }_5=e^{2\pi \mathrm{i}/5}$  nicht graduierbar ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gerade $G$ gegeben, auf der zwei Punkte als $0$ und $1$ ausgezeichnet seien, sodass man diese Gerade mit den reellen Zahlen $ℝ$ identifizieren kann. Es seien zwei Zahlen $a$ und $b$ auf $G$ gegeben. Beschreibe, wie man die beiden Zahlen durch eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal miteinander multiplizieren kann, sodass das Produkt wieder auf $G$ liegt (dabei darf die Konstruktion von Parallelen und Senkrechten verwendet werden). Skizziere die Situation.