Kurs:Körper- und Galoistheorie/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	7	1	3	3	2	3	0	0	8	4	12	0	0	49

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein separables Polynom ${}P\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
4. Eine (endliche) Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine auflösbare Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Ein aus einer Teilmenge  ${}M\subseteq E$  einer Ebene ${}E$ konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
2. Der Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
3. Der Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente  ${}g\in G$  und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik ${}p$ an, der unendlich viele Elemente besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Es seien  ${}p,q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$  und sei

${}f={\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\,.$

a) Zeige, dass es ein Polynom  ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$  der Form

${}G=X^{4}+cX^{2}+d\,$

mit  ${}G(f)=0$  gibt.

b) Es seien nun zusätzlich ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom ${}G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu ${}f$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir starten mit einer Geraden und den beiden darauf markierten Punkten ${}0$ und ${}1$. Wir betrachten Zirkelkonstruktionen, wobei nur Punkte auf dieser Geraden und Kreise erlaubt sind, die durch schon konstruierte Punkte auf dieser Geraden gegeben sind. Wir definieren rekursiv die Eigenschaft, dass ein Punkt in (höchstens) ${}n+1$ Schritten konstruierbar ist, wenn er auf dieser Geraden und auf einem Kreis liegt, der durch zwei Punkte gegeben ist, die in (höchstens) ${}n$ Schritten konstruierbar sind. Im nullten Schritt sind nur die beiden vorgegebenen Punkte konstruierbar. Erstelle eine rekursive Formel für ${}\varphi (n+1)$, die angibt, wie viele Punkte man in (höchstens) ${}n+1$ Schritten konstruieren kann. Was ist ${}\varphi (3)$?

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen in Charakteristik ${}0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)