Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ der \definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} des Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+1 }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_r }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} derart gibt, dass diese Polynome in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren zerfallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte \zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Sei \maabb {F} {K} {K } {} der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.} Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F' }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

Die folgenden fünf Aufgaben waren schon mal Klausuraufgaben \zusatzklammer {es gibt dazu auch Lösungen} {} {.}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17) ^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{x \in { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{.} Es sei $a$ die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $x$ in der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(p),+,0)}{} und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe
\mathl{({ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}, \cdot , 1)}{.} Zeige, dass \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von
\mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere \definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{64,81,121,125}{} und
\mathl{128}{} Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige \definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das \definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:} \aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$. }{Die Ableitung ist $K$-\definitionsverweis {linear}{}{.} }{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)' }
{ =} {FG'+F'G }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein Element
\mathl{a \in K}{} heißt \definitionswort {mehrfache Nullstelle}{} eines Polynoms
\mathl{P\in K[X]}{,} wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom
\mathl{X-a}{} mit einem Exponenten $\geq 2$ vorkommt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine \definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{} von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wobei $F'$ die \definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von $F$ bezeichnet.

}
{} {}