Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 11

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung derart gibt, dass diese Polynome in in Linearfaktoren zerfallen.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.


Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Die folgenden fünf Aufgaben waren schon mal Klausuraufgaben (es gibt dazu auch Lösungen).

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe zu jeder möglichen Ordnung ein Element , das die Ordnung besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

an, die aus vier Elementen besteht.


Aufgabe *

Sei eine Primzahl und eine Einheit. Es sei die Ordnung von in der additiven Gruppe und es sei die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe . Zeige, dass und teilerfremd sind.


Aufgabe *

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit neun Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Zeige: ist ein Unterkörper von genau dann, wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :

  1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist .
  2. Die Ableitung ist -linear.
  3. Es gilt die Produktregel, also


Es sei ein Körper. Ein Element heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms , wenn in der Primfaktorzerlegung von das lineare Polynom mit einem Exponenten vorkommt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.


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