Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen $ℂ$ der Zerfällungskörper des Polynoms  $X^2+1\in ℝ[X]$  ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien  $F_1,\dots ,F_r\in K[X]$  Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  derart gibt, dass diese Polynome in $L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼f^p,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Sei $F:K\to K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus $\mathbb{Z}/(p)$ invariant unter $F$ sind.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^n$, $n\ge 2$. Zeige, dass $\mathbb{Z}/(p^n)$ kein Vektorraum über $\mathbb{Z}/(p)$ sein kann.

Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von

$2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2\in \mathbb{Z}/(3)[X].$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik  $p>0$.  Bestimme die Menge der Polynome  $F\in K[T]$  mit formaler Ableitung  $F^{\prime }=0$. 

Die folgenden fünf Aufgaben waren schon mal Klausuraufgaben (es gibt dazu auch Lösungen).

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe ${(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element  $x\in {(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$,  das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq {(\mathbb{Z}/(17))}^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und  $x\in {(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$  eine Einheit. Es sei $a$ die Ordnung von $x$ in der additiven Gruppe $(\mathbb{Z}/(p),+,0)$ und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe $({(\mathbb{Z}/(p))}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind.

Aufgabe *

Es sei ${𝔽}_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${𝔽}_q^{\times }$ ein Quadrat in ${𝔽}_q$ ist.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${𝔽}_9$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb{Z}/(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${𝔽}_9$ an.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${𝔽}_8$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb{Z}/(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${𝔽}_8$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit $64,81,121,125$ und $128$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und  $e,d\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige: ${𝔽}_{p^d}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${𝔽}_{p^e}$, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${𝔽}_q$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${𝔽}_{q^2}$ jedes Element aus ${𝔽}_q$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten $F\mapsto F^{\prime }$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
2. Die Ableitung ist $K$-linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   $(FG{)}^{\prime }=F{G}^{\prime }+F^{\prime }G.$

Es sei $K$ ein Körper. Ein Element $a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms $P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom $X-a$ mit einem Exponenten $\ge 2$ vorkommt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $F\in K[X]$  und  $a\in K$.  Zeige, dass $a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von $F$ ist, wenn  $F^{\prime }(a)=0$  ist, wobei $F^{\prime }$ die formale Ableitung von $F$ bezeichnet.