Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $L=K(X)$  der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Zeige, dass  $K\subset L$  eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $P\in K[X]$  ein separables Polynom. Zeige, dass jeder Teiler  $F\in K[X]$  von $P$ ebenfalls separabel ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom $P\in K[X]$ separabel?

Aufgabe *

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass auch  $M\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein vollkommener Körper und  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass  $K\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik $0$ vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper ${𝔽}_p(X)$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung $K\subseteq L$, die nicht separabel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei  $F\in K[X_1,\dots ,X_n]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

$F:K^n⟶K,(a_1,\dots ,a_n)⟼F(a_1,\dots ,a_n),$

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $L=K(X)$  der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen $K$ und $L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $L=K(X)$  der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Es sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, $M\ne K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass  $M\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Wir betrachten die Körpererweiterung

$K(X^p,Y^p)\subseteq K(X,Y).$

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.