Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass ${}K\subset L$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${}F\in K[X]$ von ${}P$ ebenfalls separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom ${}P\in K[X]$ separabel?

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${}M\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein Körper ${}K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${}P\in K[X]$ separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik ${}0$ vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper ${}{\mathbb {F} }_{p}(X)$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, die nicht separabel ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

$F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),$

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Es sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ${}M\neq K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)\,.$

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.