Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 12

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.


Aufgabe

Sei ein Körper. Ist ein konstantes Polynom separabel?


Aufgabe *

Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.


In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.


Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein vollkommener Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass eine separable Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik vollkommen ist.


Aufgabe


Aufgabe

Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung , die nicht separabel ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

nicht die Nullfunktion ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen und gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Es sei , , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik . Wir betrachten die Körpererweiterung

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.


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