Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 11

Zerfällungskörper

Wir wollen zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ einen Körper konstruieren, über dem ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Dies beruht auf einer recht einfachen Konstruktion. Zu jedem Körper kann man sogar einen Körper ${}K\subseteq {\overline {K}}$ konstruieren, der algebraisch abgeschlossen ist, was wir aber nicht ausführen werden. Eine erste Anwendung ist die Konstruktion und die Charakterisierung von endlichen Körpern.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F$ ein Polynom aus ${}K[X]$.

Dann gibt es einen Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.

Beweis

Es sei ${}F=P_{1}\cdots P_{r}$ die Zerlegung in Primpolynome in ${}K[X]$, und sei ${}P_{1}$ nicht linear. Dann ist

$K\longrightarrow K[Y]/(P_{1}(Y))=:K'$

eine Körpererweiterung von ${}K$ nach Satz 7.6. Wegen ${}P_{1}(Y)=0$ in ${}K'$ ist die Restklasse ${}y$ von ${}Y$ in ${}K'$ eine Nullstelle von ${}P_{1}$. Daher gilt nach Lemma Anhang 1.4 in ${}K'[X]$ die Faktorisierung ${}P_{1}=(X-y){\tilde {P}}$, wobei ${}{\tilde {P}}$ einen kleineren Grad als ${}P_{1}$ hat. Das Polynom ${}F$ hat also über ${}K'$ mindestens einen Linearfaktor mehr als über ${}K$. Induktive Anwendung von dieser Konstruktion liefert eine Kette von Erweiterungen ${}K\subset K'\subset K^{\prime \prime }\subset \ldots$, die stationär wird, sobald ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$. Dann nennt man

${}K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$

einen Zerfällungskörper von ${}F$.

Es handelt sich hierbei wirklich um einen Körper, wie wir gleich sehen werden. Häufig beschränkt man sich auf Polynome vom Grad ${}\geq 1$, bei konstanten Polynomen sehen wir einfach ${}K$ selbst als Zerfällungskörper an. Über dem Zerfällungskörper zerfällt das gegebene Polynom in Linearfaktoren, da er ja nach Definition alle Nullstellen enthält, mit denen alle beteiligten Linearfaktoren formuliert werden können.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Es sei ${}K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper.

Dann ist ${}L$ auch ein Zerfällungskörper des Polynoms ${}F\in K'[X]$.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom und ${}L=Z(F)$ der Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Beweis

Es sei ${}K\subseteq M$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearformen zerfällt und ${}L=K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq M$, wobei ${}a_{i}\in M$ die Nullstellen von ${}F$ seien. Es liegt eine Kette von ${}K$- Algebren

${}K\subseteq K[a_{1}]\subseteq K[a_{1},a_{2}]\subseteq \cdots \subseteq K[a_{1},\ldots ,a_{n}]=L\subseteq M\,$

vor. Dabei ist sukzessive ${}a_{i}$ algebraisch über ${}K[a_{1},\ldots ,a_{i-1}]$, da ja ${}a_{i}$ eine Nullstelle von ${}F\in K[X]$ ist. Daher sind die Inklusionen nach Satz 8.1 endliche Körpererweiterungen und nach Satz 2.8 ist dann die Gesamtkörpererweiterung ebenfalls endlich.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Es seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ zwei Zerfällungskörper von ${}F$.

Dann gibt es einen ${}K$- Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Grad ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}$. Wenn der Grad eins ist, so ist ${}K=L_{1}$ und das Polynom ${}F$ zerfällt bereits über ${}K$ in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von ${}F$ in einem beliebigen Erweiterungskörper ${}K\subseteq M$ zu ${}K$ selbst. Also ist auch ${}L_{2}=K$. Es sei nun ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt ${}F$ über ${}K$ nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor ${}P$ von ${}F$ mit ${}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2$ und ${}K'=K[X]/(P)$ ist nach Satz 7.6 und nach Proposition 7.9 eine Körpererweiterung von ${}K$ vom Grad ${}\geq 2$. Da ${}P$ als Faktor von ${}F$ ebenfalls über ${}L_{1}$ und über ${}L_{2}$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es ${}K$-Algebrahomomorphismen ${}K'\rightarrow L_{1}$ und ${}K'\rightarrow L_{2}$. Diese sind injektiv, sodass ${}K'$ sowohl von ${}L_{1}$ als auch von ${}L_{2}$ ein Unterkörper ist. Nach Lemma 11.3 sind dann ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ Zerfällungskörper von ${}F\in K'[X]$. Nach Satz 2.8 ist

${}\operatorname {grad} _{K'}L_{1}<\operatorname {grad} _{K}L_{1}\,,$

sodass wir auf ${}K',L_{1},L_{2}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen ${}K'$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Dieser ist erst recht ein ${}K$-Algebraisomorphismus.

$\Box$

Konstruktion endlicher Körper

Endliche Körper mit der Anzahl ${}p^{e}$ konstruiert man, indem man ein in ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ irreduzibles Polynom vom Grad ${}n$ findet. Ob ein gegebenes Polynom irreduzibel ist, lässt sich dabei grundsätzlich in endlich vielen Schritten entscheiden, da es ja zu jedem Grad überhaupt nur endlich viele Polynome gibt, die als Teiler in Frage kommen können. Zur Konstruktion von einigen kleinen endlichen Körpern siehe Aufgabe 10.12 und Aufgabe 11.14. Generell kann man einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen als Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{q}-X$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ erhalten.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, sei ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$. Es sei

${}M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,.$

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}K$.

Beweis

Zunächst gilt für jedes Element ${}x\in \mathbb {Z} /(p)\subseteq K$, dass

${}x^{p^{e}}={\left(x^{p}\right)}^{p^{e-1}}=x^{p^{e-1}}=\ldots =x\,$

ist, wobei wir wiederholt den kleinen Fermat benutzt haben. Insbesondere ist also ${}0,1,-1\in M$. Es ist ${}z^{q}=F^{e}(z)$ und der Frobeniushomomorphismus

$F\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{p},$

ist ein Ringhomomorphismus nach Aufgabe 11.4. Daher ist für ${}x,y\in M$ einerseits

${}(x+y)^{q}=F^{e}(x+y)=F^{e}(x)+F^{e}(y)=x^{q}+y^{q}=x+y\,$

und andererseits

${}(xy)^{q}=x^{q}y^{q}=xy\,.$

Ferner gilt für ${}x\in M$, ${}x\neq 0$, die Gleichheit

${}{\left(x^{-1}\right)}^{q}={\left(x^{q}\right)}^{-1}=x^{-1}\,,$

sodass auch das Inverse zu ${}M$ gehört und in der Tat ein Körper vorliegt.

$\Box$

Im Beweis der nächsten Aussage werden wir die Technik des formalen Ableitens verwenden. Ableiten ist eigentlich eine analytische Technik, und bekanntlich ist die Ableitung eines Monoms ${}X^{m}$ gleich ${}mX^{m-1}$, und die Ableitung eines Polynoms ergibt sich durch lineare Fortsetzung dieser Regel. Da der Exponent der Variablen zum Vorfaktor wird, und da man jede ganze Zahl in jedem Körper eindeutig interpretieren kann, ergeben solche Ableitungen auch rein algebraisch für jeden Grundkörper Sinn. Wir definieren daher.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zu einem Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ heißt das Polynom

${}F'=na_{n}X^{n-1}+(n-1)a_{n-1}X^{n-2}+\cdots +3a_{3}X^{2}+2a_{2}X+a_{1}\,$

die formale Ableitung von ${}F$.

Man beachte, dass, insbesondere bei positiver Charakteristik, das algebraische Ableiten einige überraschende Eigenschaften haben kann. In positiver Charakteristik ${}p$ ist beispielsweise

${}(X^{p})'=pX^{p-1}=0\,.$

Für einige grundlegende Eigenschaften des Ableitens siehe die Aufgaben. Wichtig ist für uns, dass man mit der formalen Ableitung testen kann, ob die Nullstellen eines Polynoms einfach oder mehrfach sind

(eine Nullstelle ${}a$ heißt mehrfach, wenn das zugehörige lineare Polynom ${}X-a$ das Polynom mehrfach teilt, d.h. wenn es in der Primfaktorzerlegung mit einem Exponenten ${}\geq 2$ vorkommt).

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$, sei ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 1$. Das Polynom ${}X^{q}-X$ zerfalle über ${}K$ in Linearfaktoren.

Dann ist

${}M={\left\{x\in K\mid x^{q}=x\right\}}\,$

ein Unterkörper von ${}K$ mit ${}q$ Elementen.

Beweis

Nach Lemma 11.6 ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}K$, und nach Korollar Anhang 1.5 besitzt er höchstens ${}q$ Elemente. Es ist also zu zeigen, dass ${}F=X^{q}-X$ keine mehrfache Nullstellen hat. Dies folgt aber aus der formalen Ableitung ${}F'=-1$ und Aufgabe 11.19.

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Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

Beweis

Zur Existenz. Wir wenden Lemma 11.1 auf den Grundkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom ${}X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper ${}L$ der Charakteristik ${}p$, über dem ${}X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Lemma 11.8 gibt es dann einen Unterkörper ${}M$ von ${}L$, der aus genau ${}q$ Elementen besteht.

Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit ${}q$ Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{q}-X$ sein muss, sodass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Satz 11.5 eindeutig bestimmt ist. Es sei also ${}L$ ein Körper mit ${}q$ Elementen, der dann ${}\mathbb {Z} /(p)$ als Primkörper enthält. Da ${}L^{\times }$ genau ${}q-1$ Elemente besitzt, gilt nach Korollar 4.17 die Gleichung ${}x^{q-1}=1$ für jedes ${}x\in L^{\times }$ und damit auch ${}x^{q}=x$ für jedes ${}x\in L$. Dieses Polynom vom Grad ${}q$ hat also in ${}L$ genau ${}q$ verschiedene Nullstellen, sodass es also über ${}L$ zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich ${}L$, sodass ${}L$ der Zerfällungskörper ist.

$\Box$

Notation

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Satz 11.9 bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen wird mit

${\mathbb {F} }_{q}$

bezeichnet.

Für ${}q=p$ ist ${}{\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)$. Dagegen sind für ${}q=p^{e}$, ${}e\geq 2$, die Ringe ${}{\mathbb {F} }_{q}$ und ${}\mathbb {Z} /(q)$ verschieden, obwohl beide Ringe ${}q$ Elemente besitzen. Dies liegt einfach daran, dass ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Körper ist, ${}\mathbb {Z} /(q)$ aber nicht.

Fußnoten

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