Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 12/latex

\setcounter{section}{12}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren \definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ K(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subset }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} aber keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {separables Polynom}{}{.} Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Ist ein konstantes Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} \definitionsverweis {separabel}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, das auch
\mathl{M \subseteq L}{} eine separable Körpererweiterung ist.

}
{} {}

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.

Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes \definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K\subseteq L}{,} die nicht \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion \maabbeledisp {F} {K^n} {K } {(a_1 , \ldots , a_n)} {F(a_1 , \ldots , a_n) } {,} nicht die Nullfunktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen \mathkor {} {K} {und} {L} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X^p,Y^p) }
{ \subseteq} { K(X,Y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dies keine \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}