Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe und sei eine weitere Körpererweiterung. Es sei die Menge der -Algebrahomomorphismen von nach . Zeige, dass die Zuordung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Betrachte die Menge der vierten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Vektoren (im )

linear unabhängig sind.


Aufgabe

Sei und sei . Berechne die Determinante der -Matrix

für .


Aufgabe

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung keine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei (zu ) die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass es zu jedem einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

gibt.


Bei einer endlichen Körpererweiterung kann man jeden -Algebra-Automorphismus von - also jedes Element der Galoisgruppe - als eine bijektive -lineare Abbildung

auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe in einen Körper . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine endliche kommutative Gruppe und sei eine -graduierte Körpererweiterung. Beweise für die Gleichheit

wobei den zugehörigen -Automorphismus von bezeichnet (siehe Lemma 9.11).


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge der achten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?


Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung mit der zugehörigen Charaktergruppe mit Werten in einem Körper .

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

nur die Werte und annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass genau dann den Wert annimmt, wenn gerade ist.



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