Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}K\subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\operatorname {grad} _{K}L\leq n!\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und sei ${}K\subseteq M$ eine weitere Körpererweiterung. Es sei ${}E$ die Menge der ${}K$- Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$. Zeige, dass die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(E),\,\varphi \longmapsto (\iota \mapsto \iota \circ \varphi ),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte die Menge ${}\mu _{4}({\mathbb {C} })$ der vierten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$. Welche sind untereinander über ${}\mathbb {Q}$ konjugiert?

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die ${}n$ Vektoren (im ${}{\mathbb {C} }^{n}$)

$(1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{n-1}),\zeta \in \mu _{n}({\mathbb {C} }),$

linear unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Berechne die Determinante der ${}(n\times n)$- Matrix

$((\zeta ^{r+s})_{0\leq r,s\leq n-1})$

für ${}n=1,2,3,4$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{2}\subseteq {\mathbb {F} }_{4}$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{2}(X)\subseteq {\mathbb {F} }_{2}(X)[T]/(T^{2}-X)$ keine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\mu _{n}(L)$ (zu $n\in \mathbb {N} _{+}$) die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}L$. Zeige, dass es zu jedem ${}n$ einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(\mu _{n}(L))$

gibt.

Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ kann man jeden ${}K$-Algebra-Automorphismus von ${}L$ - also jedes Element der Galoisgruppe - als eine bijektive ${}K$-lineare Abbildung

$L\cong K^{n}\longrightarrow L\cong K^{n}$

auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \det \varphi ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ in einen Körper ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ${}L[X]$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und sei ${}K\subseteq L$ eine ${}D$- graduierte Körpererweiterung. Beweise für ${}\chi \in D^{\vee }$ die Gleichheit

${}\prod _{d\in D}\chi (d)=\det \varphi _{\chi }\,,$

wobei ${}\varphi _{\chi }$ den zugehörigen ${}K$-Automorphismus von ${}L$ bezeichnet (siehe Lemma 9.11).

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Menge ${}\mu _{8}({\mathbb {C} })$ der achten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$. Welche sind untereinander über ${}\mathbb {Q}$ konjugiert?

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}D^{\vee }$ mit Werten in einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$

nur die Werte ${}1$ und ${}-1$ annehmen kann.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass ${}\psi$ genau dann den Wert ${}-1$ annimmt, wenn ${}n$ gerade ist.