Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 12

Wir interessieren uns für die Frage, wann eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  einfach ist, also in der Form  $L=K(x)$  mit einem Element $x\in L$ geschrieben werden kann. Antwort gibt der Satz vom primitiven Element (d.h. erzeugenden Element), der besagt, dass dies unter der recht schwachen Voraussetzung der Separabilität der Fall ist.

Separable Körpererweiterungen

Definition

Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper  $K\subseteq L$  mehrfache Nullstellen besitzt.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. $P$ und die Ableitung $P^{\prime }$ sind teilerfremd.
4. $P$ und die Ableitung $P^{\prime }$ erzeugen das Einheitsideal.

Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Dies folgt aus Lemma 11.1.
$(2)\Rightarrow (3)$. Nehmen wir an, dass $P$ und $P^{\prime }$ einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in $K[X]$ besitzen. Dies ist dann auch in $L[X]$ der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von $P$ auch ein Teiler von $P^{\prime }$ ist. Daher besitzen $P$ und $P^{\prime }$ eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt $P$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
$(3)\Rightarrow (4)$. Dies folgt aus Lemma 3.16.
$(4)\Rightarrow (1)$. Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung derart, dass  $P\in L[X]$  in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man $1$ in $K[X]$ als Linearkombination von $P$ und $P^{\prime }$ darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf $L[X]$. Wenn $P$ in $L$ eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der $1$ nicht sein.

$◻$

Definition

Eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt separabel, wenn für jedes Element $x\in L$ das Minimalpolynom separabel ist.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung und $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist auch  $M\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung.

Beweis

Siehe Aufgabe 12.5.

$◻$

Unser erstes wichtiges Ziel ist es, zu zeigen, dass eine endliche Körpererweiterung bereits dann separabel ist, wenn die Minimalpolynome zu einem Erzeugendensystem separabel sind.

Lemma

Es sei  $K\subseteq L=K[x]=K(x)$  eine endliche einfache Körpererweiterung vom Grad  $d={\mathrm{grad}}_{K}L$.  Es sei  $K\subseteq M$  eine Körpererweiterung, unter der das Minimalpolynom $F$ von $x$ in Linearfaktoren zerfällt.

Dann ist $F$ genau dann ein separables Polynom, wenn es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt.

Beweis

Es sei also  $K\subseteq L=K[x]=K[X]/(F)$  vom Grad $d$ mit dem Minimalpolynom $F$ gegeben. Dieses Polynom $F$ ist genau dann separabel, wenn es in $M$ genau $d$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäß Satz 6.4 in Bijektion zu den $K$-Algebrahomomorphismen von  $L=K[X]/(F)$  nach $M$.

$◻$

Lemma

Es sei  $K\subseteq L=K[x_1,\dots ,x_n]$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad  $d={\mathrm{grad}}_{K}L$  mit der Eigenschaft, dass die Minimalpolynome $F_i\in K[X]$ zu den $x_i$ separabel sind. Es sei  $K\subseteq M$  eine Körpererweiterung, unter der die $F_i$ in Linearfaktoren zerfallen.

Dann gibt es $d$ verschiedene $K$-Einbettungen von $L$ in $M$.

Beweis

Wir führen Induktion über $n$, bei  $n=0$  ist der Grad der Körpererweiterung gleich $1$ und es gibt auch nur die $K$-Einbettung  $K\subseteq M$.  Es sei die Aussage für $n$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

$K\subseteq K^{\prime }=K[x_1,\dots ,x_n]\subseteq K^{\prime }[x_{n+1}]=L.$

Wir wissen also, dass es ${\mathrm{grad}}_K{K}^{\prime }$ verschiedene $K$-Einbettungen von $K^{\prime }$ nach $M$ gibt. Aufgrund der Gradformel genügt es zu zeigen, dass es für  $K^{\prime }\subseteq K^{\prime }[x_{n+1}]=L$  so viele $K^{\prime }$-Einbettungen von $L$ in $M$ gibt, wie es der Körpergrad ${\mathrm{grad}}_{K^{\prime }}L$ vorgibt. Es genügt also, den Fall  $n=1$  zu beweisen, und dieser folgt aus Lemma 12.5.

$◻$

Satz

Es sei  $K\subseteq L=K[x_1,\dots ,x_n]$  eine endliche Körpererweiterung. Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome $F_i$ der $x_i$ separabel sind.

Dann ist die Erweiterung  $K\subseteq L$ 

separabel.

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad $1$ trivial ist. Es sei $x\in L$, $x\in ̸K$, mit Minimalpolynom  $F\in K[X]$.  Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

$K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L,$

wobei die Grade mit  $d_1={\mathrm{grad}}_{K}K[x]$,   $d_2={\mathrm{grad}}_{K[x]}L$  und mit  $d=d_1{d}_2={\mathrm{grad}}_{K}L$  bezeichnet seien. Es sei  $K\subseteq M$  ein Körper, über dem $F$ und die $F_i$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi :{\mathrm{Hom}}_K(L,M)⟶{\mathrm{Hom}}_K(K[x],M),$

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Lemma 12.6 gibt es $d$ verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist  $K[x]\subseteq L$  eine separable Körpererweiterung vom Grad $d_2$ und daher gibt es nach Lemma 12.5 zu jedem fixierten $K$-Algebrahomomorphismus von $K[x]$ nach $M$ genau $d_2$ $K$-Algebrahomomorphismen von $L$ nach $M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von $\Psi$ ist also stets gleich $d_2$ und somit besitzt das Bild ${\mathrm{Hom}}_K(K[x],M)$ genau $d_1$ Elemente. Also gibt es $d_1$ $K$-Algebrahomomorphismen von  $K[x]\cong K[X]/(F)$  nach $M$ und somit ist $F$, wiederum nach Lemma 12.5, ein separables Polynom.

$◻$

Der Satz vom primitiven Element

Lemma

Es sei  $K\subseteq L=K(x)$  eine endliche einfache Körpererweiterung und  $K\subseteq M\subseteq L$  ein Zwischenkörper. Es sei  $G=\sum _{j=0}^k{b}_j{X}^j\in M[X]$  das Minimalpolynom von $x$ über $M$.

Dann ist  $M=K(b_0,\dots ,b_k)$. 

Beweis

Wir gehen von der Inklusion  $K^{\prime }=K(b_0,\dots ,b_k)\subseteq M$  aus. Die Körpererweiterung  $K^{\prime }\subseteq L$  ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger $x$, und  $G\in K^{\prime }[X]$  ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in $M[X]$ ist. Somit ist $G$ nach Lemma 7.12 auch das Minimalpolynom von $x$ über $K^{\prime }$. Daher ist  $L=M[X]/(G)$  und  $L=K^{\prime }[X]/(G)$  und insbesondere

${\mathrm{grad}}_{M}L=\mathrm{grad}(G)={\mathrm{grad}}_{K^{\prime }}L.$

Nach der Gradformel, angewendet auf  $K^{\prime }\subseteq M\subseteq L$,  folgt  $K^{\prime }=M$. 

$◻$

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist  $K\subseteq L$  genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper  $K\subseteq M\subseteq L$  gibt.

Beweis

Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch $L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Satz 10.5 die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass $K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in  $K\subseteq L$  nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei  ${\mathrm{grad}}_{K}L=n$.  Jeder von $L$ verschiedene Zwischenkörper $M_i$, $i=1,\dots ,k$, ist ein maximal $(n-1)$-dimensionaler $K$-Untervektorraum von $L$ und daher gibt es eine von $0$ verschiedene $K$-lineare Abbildung

${\phi }_i:L⟶K$

mit  ${\phi }_i(M_i)=0$.  Zu ${\phi }_i$ gehört ein lineares Polynom $P_i$ (in $n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom  $P=\prod _{i=1}^k{P}_i$  ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper  $M_i\ne L$  gleich $0$. Da $K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe 12.11 auch Elemente  $a=(a_1,\dots ,a_n)\in L$  mit  $P(a)\ne 0$.  Der von einem solchen Element $a$ über $K$ erzeugte Körper muss gleich $L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

$L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)$

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom $F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ist  $L=M(x)$  und das Minimalpolynom $G$ von $x$ über $M$ ist in $M[X]$ und insbesondere in $L[X]$ ein Teiler von $F$. Nach Lemma 12.8 besteht die Beziehung  $M=K(b_0,\dots ,b_k)$,  wobei die $b_j$ die Koeffizienten von $G$ sind. Da $F$ in $L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

$◻$

Korollar

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche einfache Körpererweiterung und  $K\subseteq M\subseteq L$  ein Zwischenkörper.

Dann ist auch  $K\subseteq M$  eine einfache Körpererweiterung.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 12.9, da ja  $K\subseteq M$  unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.

$◻$

Der folgende Satz heißt Satz vom primitiven Element.

Satz

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche separable Körpererweiterung.

Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein  $f\in L$  mit

$L=K(f)\cong K[X]/(P)$

mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom  $P\in K[X]$. 

Beweis

Bei $K$ endlich folgt die Aussage sofort aus Satz 10.5, wir können also $K$ als unendlich annehmen. Es sei  $K\subseteq L=K[x_1,\dots ,x_n]$.  Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist  $K\subseteq K[x_1,x_2]$  ebenfalls separabel. Es sei also  $L=K[x,y]$  gegeben und  $n={\mathrm{grad}}_{K}L$.  Es sei  $K\subseteq M$  eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von $x$ und von $y$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäß Lemma 12.6 $n$ $K$-Einbettungen

${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n:L⟶M.$

Wir betrachten das Polynom

$P=\prod _{i\ne j}(({\sigma }_i(y)-{\sigma }_j(y))X+{\sigma }_i(x)-{\sigma }_j(x)),$

das zu $M[X]$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich $0$ ist. Daher besitzt $P$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da $K$ unendlich ist, ein  $c\in K$  mit  $P(c)\ne 0$.  Die Elemente  ${\sigma }_i(x+cy)={\sigma }_i(x)+c{\sigma }_i(y)$  sind alle verschieden. Aus  ${\sigma }_i(x)+c{\sigma }_i(y)={\sigma }_j(x)+c{\sigma }_j(y)$  für  $i\ne j$  folgt nämlich  $({\sigma }_i(y)-{\sigma }_j(y))c+{\sigma }_i(x)-{\sigma }_j(x)=0$,  und $c$ wäre doch eine Nullstelle von $P$. Es gibt also $n$ verschiedene Einbettungen von $K(x+cy)$ nach $M$ und insbesondere ist  ${\mathrm{grad}}_{K}K(x+cy)\ge n$,  also ist  $K(x+cy)=L$. 

$◻$

Fußnoten

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