Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_{p^{ n } }}{} für
\mathl{n=4,6,8,12}{.} Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und seien
\mathkor {} {D_1^{ \vee }} {und} {D_2^{ \vee }} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppen}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {D_1} {D_2
} {}
durch die Zuordnung
\mathl{\chi \mapsto \chi \circ \varphi}{} ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi^{ \vee }} { D_2^{ \vee } } { D_1^{ \vee }
} {}
definiert wird.
} {Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei
\maabbdisp {\psi} {D_2} {D_3
} {}
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^{ \vee }
}
{ =} { \varphi ^{ \vee } \circ \psi ^{ \vee }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee }
} {d} { (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) )
} {,}
ein natürlicher
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $D$ in das Doppeldual
\mathl{( D^{ \vee } )^{ \vee }}{} gegeben ist.
b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei
\mathl{m}{} der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung
\mathl{\operatorname{ev}_d}{} heißt \stichwort {Evaluierungsabbildung} {}
\zusatzklammer {zu $d$} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { , }
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{ \vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
b) Unter der kanonischen Abbildung
\maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee }
} {d} { (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) )
} {,}
ist
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) \subseteq (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{.}
c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) = (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
$m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } \chi \in H \right\} }} { }
\zusatzklammer {zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{ \vee }$} {} {}
zueinander
\definitionsverweis {invers}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
Ein Element
\mathl{f \in L}{} einer Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {L} {\operatorname{End}_{ K } \, (L)
} {f} { \mu_f
} {,}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{}
$\mu_f$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{\mu_f}}{} ein Vielfaches des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
zu $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass zwischen
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und der Multiplikationsabbildung
\mathbed {\mu_f} {}
{f \in L} {}
{} {} {} {,}
beide aufgefasst als
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $L$ nach $L$, weder die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ \varphi(f)}
}
{ =} { \mu_f \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
noch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{ \varphi(f)}
}
{ =} { \varphi \circ \mu_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten muss.
}
{} {}
Über $\mu_f$ wird auch die Norm von $f \in L$ definiert.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\mu_f} {L} {L
} {y} {fy
} {,}
die \definitionswort {Norm}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{N(f)}{} bezeichnet.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\maabbeledisp {N} {L} {K
} {f} {N(f)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{N(fg)=N(f)N(g)}{.}
}{Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mathl{N(f)=f^n}{,} wobei $n$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung bezeichne.
}{Es ist
\mathl{N(f)=0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{\psi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist
\mathl{\psi(M)=M}{.}
} {Die Untergruppe
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist nur zu sich selbst
\definitionsverweis {konjugiert}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles}{}{}
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} des
\definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{} $L$ von $F$
\definitionsverweis {kommutativ}{}{} sei. Zeige, dass dann
\mathl{L\cong K[X]/(F)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$K$ besitzt eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
}{Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jeder
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ eines Elementes
\mathl{d \in D}{} besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{E \subseteq D}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Es sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} des natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { E^{ \vee } } {\chi} { \chi {{|}}_E } {,} gleich $E^{ { \perp } }$ ist.
b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} besitzt, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
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