Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 16

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung für . Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?


Aufgabe *

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine kommutative Gruppe und ein Körper.

a) Zeige, dass durch

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von in das Doppeldual gegeben ist.

b) Es sei nun endlich und es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung heißt Evaluierungsabbildung (zu ).

Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und es sei ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

die einer Untergruppe von eine Untergruppe von zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

ist .

c) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe

Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

und

(zwischen den Untergruppen von und den Untergruppen von ) zueinander invers sind.


Aufgabe

Bestimme die Zwischenkörper in Beispiel *****.


Ein Element einer Körpererweiterung definiert durch Multiplikation eine -lineare Abbildung

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung . Zeige, dass das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass zwischen und der Multiplikationsabbildung , , beide aufgefasst als -lineare Abbildung von nach , weder die Beziehung

noch die Beziehung

gelten muss.


Über wird auch die Norm von definiert.

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der -linearen Abbildung

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.


Aufgabe *

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist genau dann, wenn ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung und sei , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Für alle ist .
  2. Die Untergruppe ist nur zu sich selbst konjugiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein irreduzibles separables Polynom. Es sei vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von kommutativ sei. Zeige, dass dann ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  2. Zu jedem Primpotenzteiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  3. Zu jedem Teiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
  4. Zu jeder Ordnung eines Elementes besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei eine endliche kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Es sei ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

gleich ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass surjektiv ist.



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