Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$ für ${}n=4,6,8,12$. Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?

Aufgabe *

Es seien ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ kommutative Gruppen und seien ${}D_{1}^{\vee }$ und ${}D_{2}^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}$

   durch die Zuordnung ${}\chi \mapsto \chi \circ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei ${}D_{3}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.$

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von ${}D$ in das Doppeldual ${}(D^{\vee })^{\vee }$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${}D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung ${}\operatorname {ev} _{d}$ heißt Evaluierungsabbildung (zu ${}d$).

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},$

die einer Untergruppe von ${}D$ eine Untergruppe von ${}D^{\vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ist ${}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann ${}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$, und es sei ${}K$ ein Körper, der eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}$

und

$H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}$

(zwischen den Untergruppen von ${}D$ und den Untergruppen von ${}D^{\vee }$) zueinander invers sind.

Aufgabe

Bestimme die Zwischenkörper in Beispiel 16.8.

Ein Element ${}f\in L$ einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ definiert durch Multiplikation eine ${}K$-lineare Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy.$

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Abbildung

$L\longrightarrow \operatorname {End} _{K}\,(L),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ gegeben mit der zugehörigen Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}$. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{\mu _{f}}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms zu ${}f$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass zwischen ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und der Multiplikationsabbildung ${}\mu _{f}$, ${}f\in L$, beide aufgefasst als ${}K$- lineare Abbildung von ${}L$ nach ${}L$, weder die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\mu _{f}\circ \varphi \,$

noch die Beziehung

${}\mu _{\varphi (f)}=\varphi \circ \mu _{f}\,$

gelten muss.

Über ${}\mu _{f}$ wird auch die Norm von ${}f\in L$ definiert.

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element ${}f\in L$ nennt man die Determinante der ${}K$- linearen Abbildung

$\mu _{f}\colon L\longrightarrow L,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm

$N\colon L\longrightarrow K,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}N(fg)=N(f)N(g)$.
2. Für ${}f\in K$ ist ${}N(f)=f^{n}$, wobei ${}n$ den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
3. Es ist ${}N(f)=0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Für alle ${}\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist ${}\psi (M)=M$.
2. Die Untergruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ist nur zu sich selbst konjugiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles separables Polynom. Es sei vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers ${}L$ von ${}F$ kommutativ sei. Zeige, dass dann ${}L\cong K[X]/(F)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${}m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}K$ besitzt eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${}p^{r}$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${}n$ von ${}m$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung ${}n$ eines Elementes ${}d\in D$ besitzt ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}E\subseteq D$ eine Untergruppe. Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},$

gleich ${}E^{\perp }$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass ${}\psi$ surjektiv ist.