Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 17

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein -Automorphismus. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass eine Einheitswurzel ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei ein Charakter auf der Galoisgruppe . Man mache sich die Gleichheit

klar.


Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .


Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .


Aufgabe

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel ***** bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe

Bestimme die Nullstellen von in Beispiel ***** und beschreibe, wie die Automorphismen auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind konjugiert?


Aufgabe

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms , wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.


Aufgabe

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.


Aufgabe

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus nachzuweisen.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms über den Körpern und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine Primzahl. Es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.

(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine endliche einfache Körpererweiterung und sei die Multiplikation mit .

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung bezüglich der Basis von mit Hilfe des Minimalpolynoms von .

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das charakteristische Polynom zu mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt.

c) Begründe „theoretisch“, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.


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