Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und $M$ eine Menge von Ringhomomorphismen von $L$ nach $L$. Zeige, dass die Menge

$\{x\in L\mid \phi (x)=x\text{ für alle }\phi \in M\}$

ein Unterkörper von $L$ ist.

Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper, es sei $M$ eine Menge von Automorphismen von $L$ nach $L$ und es sei $H$ die von $M$ erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit

$\mathrm{Fix}(H)=\{x\in L\mid \phi (x)=x\text{ für alle }\phi \in M\}.$

Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und  $G=\mathrm{Aut}L$  die Automorphismengruppe von $L$. Begründe die folgenden Beziehungen.

1. Für Untergruppen  $H_1\subseteq H_2\subseteq G$  ist  $\mathrm{Fix}(H_1)\supseteq \mathrm{Fix}(H_2)$. 
2. Für Unterkörper  $M_1\subseteq M_2\subseteq L$  ist  $\mathrm{Gal}(L/M_1)\supseteq \mathrm{Gal}(L/M_2)$. 
3. Für eine Untergruppe  $H\subseteq G$  ist  $H\subseteq \mathrm{Gal}(L/\mathrm{Fix}(H))$. 
4. Für einen Unterkörper  $M\subseteq L$  ist  $M\subseteq \mathrm{Fix}(\mathrm{Gal}(L/M))$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $H$ eine endliche Gruppe von Körperautomorphismen. Es sei $x\in K$. Zeige, dass

$\sum _{\phi \in H}\phi (x)\text{ und }\prod _{\phi \in H}\phi (x)$

zum Fixkörper $\mathrm{Fix}(H)$ gehören.

Aufgabe

Es sei $L$ ein Körper und sei

$\phi :L⟶L$

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von $\phi$ auf den Primkörper von $L$ die Identität ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 11.6 mithilfe von Fixkörpern.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^e$, $e\ge 1$, eine Primzahlpotenz. Beweise mithilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Satz 15.6, dass die Körpererweiterung ${𝔽}_p\subseteq {𝔽}_q$ galoissch ist.

Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\mathrm{\Phi }:{𝔽}_q⟶{𝔽}_q$

bezüglich einer geeigneten ${𝔽}_p$-Basis von ${𝔽}_q$ für $p=2$ und $q=4$ bzw. $q=8$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $L$ und $L^{\prime }$ isomorphe Körper. Zeige, dass dann auch die Automorphismengruppen $\mathrm{Aut}L$ und $\mathrm{Aut}{L}^{\prime }$ in natürlicher Weise zueinander isomorph sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Körperautomorphismen von $ℝ$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\mathrm{\Phi }:{𝔽}_q⟶{𝔽}_q$

bezüglich einer geeigneten ${𝔽}_p$-Basis von ${𝔽}_q$ für $p=3$ und $q=9$ bzw. $q=27$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe. Zeige, dass für jeden Zwischenkörper $M$ auch die Erweiterung $K\subseteq M$ galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.