Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 15

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Menge von Ringhomomorphismen von nach . Zeige, dass die Menge

ein Unterkörper von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, es sei eine Menge von Automorphismen von nach und es sei die von erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei ein Körper und die Automorphismengruppe von . Begründe die folgenden Beziehungen.

  1. Für Untergruppen ist .
  2. Für Unterkörper ist .
  3. Für eine Untergruppe ist .
  4. Für einen Unterkörper ist .


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endliche Gruppe von Körperautomorphismen. Sei . Zeige, dass

zum Fixkörper gehören.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von auf den Primkörper von die Identität ist.


Aufgabe

Beweise Lemma 11.6 mit Hilfe von Fixkörpern.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und , , eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus Satz 15.6, dass die Körpererweiterung galoissch ist.


Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von für und bzw. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und isomorphe Körper. Zeige, dass dann auch die Automorphismengruppen und in natürlicher Weise zueinander isomorph sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Körperautomorphismen von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von für und bzw. .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe. Zeige, dass für jeden Zwischenkörper auch die Erweiterung galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.


<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)