Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei \definitionsverweis {Permutationen}{}{} mit disjunktem \definitionsverweis {Wirkungsbereich}{}{} \definitionsverweis {vertauschbar}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der Ordnung $6$. Für welche
\mathl{n \in \N}{} lässt sich $G$ als Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$ realisieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_n
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq 3}{} eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$, $G= \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$ seine
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} und
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_n}{} die Nullstellen von $F$ in $L$. Nach
Lemma 13.1
ist $G$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{} handelt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$ und
\mathl{x \in M}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma)
}
{ =} {\operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} keine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass es eine echte
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subset S_n}{} gibt, die
\definitionsverweis {transitiv}{}{} ist und die mindestens eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eliminiere in
\mathl{X^5+a^2X^4-a}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \in \Q}{}} {} {}
durch eine geeignete Substitution
\zusatzklammer {einen Variablenwechsel} {} {}
den Term zum Grad $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$ und seien
\mathl{\alpha, \beta, \gamma \in {\mathbb C}}{} die Nullstellen von $F$. Zeige, dass die Differenzen
\mathkor {} {\alpha - \beta} {und} {\beta- \gamma} {}
nicht beide aus $\Q$ sein können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb C}$ nicht die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3}{}
\zusatzklammer {mit einem
\mathl{\alpha \in {\mathbb C}}{}} {} {} haben können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} vom Grad $4$ gibt, dessen Nullstellen in ${\mathbb C}$ die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4}{} besitzen.
}
{} {}
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