Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei \definitionsverweis {Permutationen}{}{} mit disjunktem \definitionsverweis {Wirkungsbereich}{}{} \definitionsverweis {vertauschbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der Ordnung $6$. Für welche
\mathl{n \in \N}{} lässt sich $G$ als Untergruppe der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$ realisieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_n }
{ \subseteq }{S_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mathl{n \geq 3}{} eine \definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {separables}{}{} \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.} Es sei $L$ der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$, $G= \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$ seine \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} und
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_n}{} die Nullstellen von $F$ in $L$. Nach Lemma 13.1 ist $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine \definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{} handelt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma) }
{ =} { \operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{} keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass es eine echte \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subset S_n}{} gibt, die \definitionsverweis {transitiv}{}{} ist und die mindestens eine \definitionsverweis {Transposition}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eliminiere in
\mathl{X^5+a^2X^4-a}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{a \in \Q}{}} {} {} durch eine geeignete Substitution \zusatzklammer {einen Variablenwechsel} {} {} den Term zum Grad $4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom Grad $3$ und seien
\mathl{\alpha, \beta, \gamma \in {\mathbb C}}{} die Nullstellen von $F$. Zeige, dass die Differenzen \mathkor {} {\alpha - \beta} {und} {\beta- \gamma} {} nicht beide aus $\Q$ sein können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom Grad $3$. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb C}$ nicht die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3}{} \zusatzklammer {mit einem
\mathl{\alpha \in {\mathbb C}}{}} {} {} haben können.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} vom Grad $4$ gibt, dessen Nullstellen in ${\mathbb C}$ die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4}{} besitzen.

}
{} {}