Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch ${}K\subseteq M$ auflösbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung und es sei ${}L'=LK'$ das Kompositum von ${}L$ und ${}K'$ (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch ${}K'\subseteq L'$ auflösbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P,F\in K[X]$ nichtkonstante Polynome. Wir setzen ${}Q=P(F)$ (in ${}P$ wird also das Polynom ${}F$ eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von ${}P$ in den Zerfällungskörper von ${}Q$ einbetten kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch ${}P(X^{n})$ auflösbar ist.

Nach Aufgabe 5.4 ist das Zentrum ${}Z_{1}=Z=Z(G)$ einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$. Folglich gibt es eine Restklassengruppe ${}G/Z(G)$, die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in ${}G$ wird mit ${}Z_{2}$ bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in ${}G$, so dass man eine Filtration

$0\subseteq Z_{1}\subseteq Z_{2}\subseteq Z_{3}\subseteq \cdots$

von Normalteilern in ${}G$ erhält. Diese Filtration nennt man Zentralreihe.

Eine Gruppe ${}G$ heißt nilpotent, wenn ihre Zentralreihe bei ${}G$ endet, d.h. wenn ${}G$ mit einer iterierten Zentrumsgruppe ${}Z_{n}(G)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ und es seien ${}H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern ${}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und ${}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass das Kompositum ${}K_{1}K_{2}$ gleich dem Fixkörper von ${}H_{1}\cap H_{2}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ vom Grad ${}n$ derart, dass ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ trivial ist.

Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Es sei ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein reguläres ${}n$-Eck ($n\geq 3$) mit den Eckpunkten ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, und es sei ${}V$ der von diesen Eckpunkten erzeugte ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum.

a) Zeige die Abschätzungen

${}\varphi (n)\leq \dim _{\mathbb {Q} }{\left(V\right)}\leq \varphi (n)+1\,.$

(Dabei bezeichnet ${}\varphi (n)$ die eulersche ${}\varphi$-Funktion).

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine ${}p$ und ${}n$ die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.

p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	1	1	2	1	4	2	3	1	6	4	10	2
3	1	1	1	2	4	1	6	2	1	4	5	2
5	1	1	2	1	1	2	6	2	6	1	5	2
7	1	1	1	2	4	1	1	2	3	4	10	2
11	1	1	2	2	1	2	3	2	6	1	1	2
13	1	1	1	1	4	1	2	2	3	4	10	1
17	1	1	2	1	4	2	6	1	2	4	10	2
19	1	1	1	2	2	1	6	2	1	2	10	2
23	1	1	2	2	4	2	3	2	6	4	1	2
29	1	1	2	1	2	2	1	2	6	2	10	2
31	1	1	1	2	1	1	6	2	3	1	5	2
37	1	1	1	1	4	1	3	2	1	4	5	1

Begründe die folgenden (mehr oder weniger sichtbaren) Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes ${}n$ sind die Einträge in der ${}n$-ten Spalte ${}\leq \varphi (n)$.

b) Für jedes ${}p$ kommt in der ${}p$-ten Zeile die ${}1$ unendlich oft vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass ${}G$ auflösbar ist.

Die folgende Aufgabe ist ein Kollektivaufgabe.

Aufgabe (20 Punkte)

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen ${}p\leq 13$ zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ aussieht.