Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 21

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und auflösbare Körpererweiterungen. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe

Es sei eine auflösbare Körpererweiterung. Es sei eine weitere Körpererweiterung und es sei das Kompositum von und (das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei). Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien nichtkonstante Polynome. Wir setzen (in wird also das Polynom eingesetzt). Zeige, dass man den Zerfällungskörper von in den Zerfällungskörper von einbetten kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein auflösbares Polynom. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Nach Aufgabe 5.4 ist das Zentrum einer Gruppe ein Normalteiler in . Folglich gibt es eine Restklassengruppe , die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in wird mit bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in , so dass man eine Filtration

von Normalteilern in erhält. Diese Filtration nennt man Zentralreihe.


Eine Gruppe heißt nilpotent, wenn ihre Zentralreihe bei endet, d.h. wenn mit einer iterierten Zentrumsgruppe übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass eine nilpotente Gruppe auflösbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass das Kompositum gleich dem Fixkörper von ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine ungerade Zahl. Man gebe eine Körpererweiterung vom Grad derart, dass trivial ist.


Aufgabe (8 (5+3) Punkte)

Es sei ein reguläres -Eck () mit den Eckpunkten , und es sei der von diesen Eckpunkten erzeugte -Vektorraum.

a) Zeige die Abschätzungen

(Dabei bezeichnet die eulersche -Funktion).

b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Tabelle, die für kleine und die endlichen Kreisteilungskörper beschreibt.

p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 1 2 1 4 2 3 1 6 4 10 2
3 1 1 1 2 4 1 6 2 1 4 5 2
5 1 1 2 1 1 2 6 2 6 1 5 2
7 1 1 1 2 4 1 1 2 3 4 10 2
11 1 1 2 2 1 2 3 2 6 1 1 2
13 1 1 1 1 4 1 2 2 3 4 10 1
17 1 1 2 1 4 2 6 1 2 4 10 2
19 1 1 1 2 2 1 6 2 1 2 10 2
23 1 1 2 2 4 2 3 2 6 4 1 2
29 1 1 2 1 2 2 1 2 6 2 10 2
31 1 1 1 2 1 1 6 2 3 1 5 2
37 1 1 1 1 4 1 3 2 1 4 5 1

Begründe die folgenden (mehr oder weniger sichtbaren) Eigenschaften der Tabelle.

a) Für jedes sind die Einträge in der -ten Spalte .

b) Für jedes kommt in der -ten Zeile die unendlich oft vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein Normalteiler sei. Zeige, dass auflösbar ist.


Die folgende Aufgabe ist ein Kollektivaufgabe.

Aufgabe (20 Punkte)

Man lege eine Tabelle an, die für Primzahlen zeigt, wie die Primfaktorzerlegung der Kreisteilungspolynome in aussieht.



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