Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 22

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.


Aufgabe

Sei eine zyklische Gruppe der Ordnung . Für welche lässt sich als Untergruppe der Permutationsgruppe realisieren?


Aufgabe

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe für eine transitive Untergruppe ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein separables irreduzibles Polynom. Es sei der Zerfällungskörper von , seine Galoisgruppe und die Nullstellen von in . Nach Lemma 13.1 ist eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Menge und sei eine Permutation auf und . Zeige, dass eine Untergruppe von ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit . Zeige die Beziehung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.


Aufgabe (3 Punkte)

Eliminiere in (mit ) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad und seien die Nullstellen von . Zeige, dass die Differenzen und nicht beide aus sein können.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein irreduzibles Polynom vom Grad . Zeige, dass die Nullstellen von in nicht die Form (mit einem ) haben können.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom vom Grad gibt, dessen Nullstellen in die Form besitzen.



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)