Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}6$. Für welche ${}n\in \mathbb {N}$ lässt sich ${}G$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ realisieren?

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$. Zeige, dass ${}F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe ${}A_{n}\subseteq S_{n}$ für ${}n\geq 3$ eine transitive Untergruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein separables irreduzibles Polynom. Es sei ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$, ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ seine Galoisgruppe und ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$. Nach Lemma 13.1 ist ${}G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und sei ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$ und ${}x\in M$. Zeige, dass ${}{\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}$ eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${}\operatorname {ord} _{x}{\sigma }$. Zeige die Beziehung

${}\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\geq 2$ keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe ${}H\subset S_{n}$ gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.

Aufgabe (3 Punkte)

Eliminiere in ${}X^{5}+a^{2}X^{4}-a$ (mit $a\in \mathbb {Q}$) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad ${}4$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$ und seien ${}\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen von ${}F$. Zeige, dass die Differenzen ${}\alpha -\beta$ und ${}\beta -\gamma$ nicht beide aus ${}\mathbb {Q}$ sein können.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad ${}3$. Zeige, dass die Nullstellen von ${}F$ in ${}{\mathbb {C} }$ nicht die Form ${}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}$ (mit einem ${}\alpha \in {\mathbb {C} }$) haben können.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}4$ gibt, dessen Nullstellen in ${}{\mathbb {C} }$ die Form ${}\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4}$ besitzen.