Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen mit disjunktem Wirkungsbereich vertauschbar sind.

Aufgabe

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $6$. Für welche $n\in \mathbb{N}$ lässt sich $G$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $S_n$ realisieren?

Aufgabe

Es sei $F\in \mathbb{Q}[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$. Zeige, dass $F$ entweder eine oder drei reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe  $A_n\subseteq S_n$  für $n\ge 3$ eine transitive Untergruppe ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $F\in K[X]$ ein separables irreduzibles Polynom. Es sei $L$ der Zerfällungskörper von $F$, $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ seine Galoisgruppe und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ die Nullstellen von $F$ in $L$. Nach Lemma 13.1 ist $G$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine transitive Untergruppe handelt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine Permutation auf $M$ und  $x\in M$.  Zeige, dass $\{n\in \mathbb{Z}\mid {\sigma }^n(x)=x\}$ eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${\mathrm{ord}}_x\sigma$. Zeige die Beziehung

$\mathrm{ord}(\sigma )=\mathrm{kgV}\{{\mathrm{ord}}_x\sigma \mid x\in M\}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $n\ge 2$ keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe $H\subset S_n$ gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.

Aufgabe (3 Punkte)

Eliminiere in $X^5+a^2{X}^4-a$ (mit $a\in \mathbb{Q}$) durch eine geeignete Substitution (einen Variablenwechsel) den Term zum Grad $4$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $F\in \mathbb{Q}[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$ und seien $\alpha ,\beta ,\gamma \in ℂ$ die Nullstellen von $F$. Zeige, dass die Differenzen $\alpha -\beta$ und $\beta -\gamma$ nicht beide aus $\mathbb{Q}$ sein können.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $F\in \mathbb{Q}[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $3$. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in $ℂ$ nicht die Form $\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3$ (mit einem $\alpha \in ℂ$) haben können.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom $F\in \mathbb{Q}[X]$ vom Grad $4$ gibt, dessen Nullstellen in $ℂ$ die Form $\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ besitzen.